Geometria



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La geometria sta causando il ramo della matematica che studia le figure del piano e dello spazio ( geometria euclidea ). Dalla fine del XVIII °  secolo, la geometria studia anche i dati appartenenti ad altri tipi di spazi ( geometria proiettiva , geometria non euclidea , per esempio).

Fin dall'inizio del XX °  secolo, alcune figure in metodi di studio di questi spazi sono stati trasformati in filiali autonome della matematica: topologia , geometria differenziale e geometria algebrica , per esempio. Se vogliamo racchiudere tutti questi significati, è difficile definire cosa sia oggi la geometria. Questo perché l'unità dei vari rami della "geometria contemporanea" risiede più nelle origini storiche che in una comunità di metodi o di oggetti.

Ottenimento della sezione conica mediante la proiezione di due sfere di diametri distinti (vedi teorema di Dandelin ).

Etimologia

I termine geometria deriva dalla greca di γεωμέτρης ( Géomètres ), che significa "geometra, geometra  " e proviene da γῆ ( Ge ) "terra" e μέτρον ( Metron ) "misura". Sarebbe quindi “la scienza della misurazione del terreno”.

Principali divisioni della geometria

Geometria classica

Senza alcun qualificatore particolare e senza riferimento a un contesto particolare (al contrario della geometria differenziale o della geometria algebrica ), la geometria o anche la geometria classica comprende principalmente:

Le suddette geometrie possono essere generalizzate variando la dimensione degli spazi, cambiando il campo degli scalari (usare linee diverse dalla linea reale) o dando una curvatura allo spazio. Si dice ancora che queste geometrie siano classiche.

Inoltre, la geometria classica può essere assiomatizzata o studiata in modi diversi.

È notevole che l'algebra lineare (spazi vettoriali, forme quadratiche, forme bilineari alternate, forme hermitiane e antihermitiane, ecc.) permetta di costruire modelli espliciti della maggior parte delle strutture incontrate in queste geometrie. Ciò conferisce quindi alla geometria classica una certa unità.

Altri tipi di geometrie

Ci sono branche della matematica che sono sorte dallo studio delle figure degli spazi euclidei, ma che si sono formate in branche autonome della matematica e che studiano spazi non necessariamente immersi negli spazi euclidei:

I diversi spazi della geometria classica possono essere studiati dalla topologia, dalla geometria differenziale e dalla geometria algebrica.

Disegno della geometria

La geometria ammette molti significati secondo gli autori. In senso stretto, la geometria è “lo studio delle forme e delle dimensioni delle figure”. Questa definizione è coerente con l'emergere della geometria come scienza sotto la civiltà greca durante il periodo classico . Secondo un rapporto di Jean-Pierre Kahane , questa definizione coincide con l'idea che le persone hanno della geometria come materia insegnata: è "il luogo dove impariamo a capire lo spazio  ".

Nel 1739 Leonhard Euler studiò il problema dei sette ponti di Königsberg  ; il suo lavoro è considerato uno dei primi risultati della geometria non dipendente da alcuna misurazione, risultati che verranno qualificati come topologici. Le domande poste nel corso del XIX °  secolo ha portato a ripensare le nozioni di forma e spazio , scartando la rigidità delle distanze euclidee. Si è considerata la possibilità di deformare continuamente una superficie senza preservare la metrica indotta, ad esempio di deformare una sfera in un ellissoide. Lo studio di queste deformazioni ha portato all'emergere della topologia  : i suoi oggetti di studio sono gli insiemi , gli spazi topologici, di cui la nozione di prossimità e continuità è definita insieme dalla nozione di vicinato . Secondo alcuni matematici, la topologia è parte integrante della geometria, anzi un suo ramo fondamentale. Questa classificazione può essere messa in discussione da altri.

Secondo il punto di vista di Felix Klein ( 1849 - 1925 ), la geometria analitica "sintetizzava infatti due caratteristiche successivamente dissociate: il suo carattere fondamentalmente metrico e l'omogeneità". Il primo carattere si trova nella geometria metrica , che studia le proprietà geometriche delle distanze. Il secondo è il fondamento del programma di Erlangen , che definisce la geometria come lo studio degli invarianti dell'azione di gruppo.

Il lavoro attuale, nei campi di ricerca conosciuti come geometria, tende a mettere in discussione la prima definizione data. Secondo Jean-Jacques Szczeciniarcz, la geometria non si costruisce "sul semplice riferimento allo spazio, e nemmeno [sulla] figurazione o [sulla] visualizzazione" ma si comprende attraverso il suo sviluppo: "la geometria è assorbita ma allo stesso tempo ci sembra attribuire un significato ai concetti dando anche l'impressione di un ritorno al significato iniziale”. Jean-Jacques Sczeciniarcz nota due movimenti nella ricerca matematica che hanno portato a un'espansione oa una frammentazione della geometria:

  • il procedimento di idealizzazione consistente nel mostrare l'importanza di una struttura aggiungendola agli oggetti matematici già studiati;
  • al contrario, il procedimento di tematizzazione consistente nel far emergere una nuova struttura sottostante oggetti geometrici già studiati.

Come estensione, la geometria non può più essere affrontata come una disciplina unificata ma come una visione della matematica o un approccio agli oggetti. Secondo Gerhard Heinzmann, la geometria è caratterizzata da "un uso di termini e contenuti geometrici, come "  punti  ", "  distanza  " o "  dimensione  " come quadro linguistico nei più diversi campi", accompagnato da un equilibrio tra un approccio empirico e un approccio teorico.

Storia

L'invenzione della geometria risale all'antico Egitto .

Geometria classica

Per Henri Poincaré , lo spazio geometrico ha le seguenti proprietà:

  1. È continuo;
  2. Lui è infinito;
  3. Ha tre dimensioni;
  4. È omogeneo, vale a dire che tutti i suoi punti sono identici tra loro;
  5. È isotropa, cioè tutte le rette che passano per lo stesso punto sono identiche tra loro.

Le geometrie euclidee e non euclidee corrispondono a questa definizione di spazio in senso stretto. Costruire una tale geometria consiste nell'enunciare le regole di disposizione dei quattro oggetti fondamentali: il punto , la linea , il piano e lo spazio . Quest'opera rimane appannaggio della geometria pura che è l'unica a lavorare ex nihilo .

Geometria piana

La geometria piana poggia prima di tutto su un'assiomatica che definisce lo spazio; poi sui metodi di intersezioni, trasformazioni e costruzioni di figure ( triangolo , parallelogramma , cerchio , sfera , ecc.).

La geometria proiettiva è la più minimalista, il che la rende un nucleo comune per altre geometrie. Si basa su assiomi:

  1. di incidenza (o appartenenza), la cui caratteristica più notevole (e più singolare) è: “Due linee complanari distinte hanno un solo punto in comune. ";
  2. Ordina: permette in particolare di ordinare i punti di una linea. Da questo punto di vista, una linea proiettiva è simile a un cerchio perché due punti definiscono due segmenti;
  3. continuità: così, in qualsiasi spazio geometrico, si può unire un punto all'altro con una progressione continua. Nella geometria euclidea, questo assioma è l'assioma di Archimede .

Parallelismo

La distinzione nella geometria proiettiva degli elementi impropri caratterizza la geometria argomentativa . Quindi la geometria affine nasce dall'eliminazione di questi elementi inadatti. Questa cancellazione di punti crea la nozione di parallelismo poiché d'ora in poi alcune coppie di linee complanari cessano di intersecarsi. Il punto improprio rimosso è paragonabile alla direzione di queste linee rette. Inoltre, due punti definiscono solo un segmento (quello dei due che non contiene il punto improprio) e rendono familiare la nozione di significato o orientamento (cioè permette di distinguere da ).

Congruenza

Geometrie euclidee e non euclidee

Il quinto assioma o "  postulato delle parallele  " della geometria euclidea è alla base della geometria euclidea  :

Per un punto esterno a una retta passa sempre una parallela a questa retta, e solo una.

Vedere Assiomatica o Elementi euclidei di Hilbert per affermazioni più complete della geometria euclidea.

La confutazione di questo postulato ha portato allo sviluppo di due geometrie non euclidee  : la geometria iperbolica di Gauss , Lobachevsky , Bolyai e la geometria ellittica di Riemann .

Programma Erlangen

Nella concezione di Felix Klein (autore del programma Erlangen ), la geometria è lo studio degli spazi puntuali su cui operano gruppi di trasformazioni (dette anche simmetrie) e di quantità e proprietà invarianti per questi gruppi. Il piano e la sfera, ad esempio, sono entrambi spazi bidimensionali, omogenei (nessun punto privilegiato) e isotropi (nessuna direzione privilegiata), ma differiscono nei loro gruppi di simmetria (il gruppo euclideo per uno, il gruppo delle rotazioni per il altro).

Tra le trasformazioni più famose troviamo isometrie , somiglianze , rotazioni , riflessioni , traslazioni e omoteità .

Non si tratta quindi di una disciplina ma di un importante lavoro di sintesi che ha permesso una chiara visione delle peculiarità di ogni geometria. Questo programma quindi caratterizza la geometria più di quanto la fonda. Ebbe un ruolo di mediatore nel dibattito sulla natura delle geometrie non euclidee e sulla controversia tra geometrie analitiche e sintetiche .

Geometria dei gruppi classici

Lì in geometria differenziale e geometria algebrica dei gruppi di Lie e dei gruppi algebrici , che a loro volta hanno spazi omogenei , e la geometria classica è spesso ridotta allo studio di questi spazi omogenei. Le geometrie affini e proiettive sono legate ai gruppi lineari e le geometrie euclidee, sferiche, ellittiche e iperboliche sono legate ai gruppi ortogonali.

Quando esistono classificazioni esplicite di gruppi di Lie o di gruppi algebrici o dei loro spazi omogenei che soddisfano determinate ipotesi (gruppi di Lie o semplici spazi algebrici, simmetrici, varietà di bandiere generalizzate, spazi di curvatura costante, ad esempio), gli elementi principali di queste classificazioni a volte provengono dalla geometria classica , e i gruppi a cui sono associate queste geometrie classiche sono legati ai cosiddetti gruppi classici (gruppi lineari, ortogonali, simplettici, ad esempio).

La maggior parte delle geometrie classiche sono legate a gruppi di Lie o algebriche semplici, dette classiche (sono derivate dall'algebra lineare). Esistono altri gruppi di Lie o semplici algebriche, che si dicono "eccezionali" e danno origine alla geometria eccezionale, con alcune analogie con la geometria classica. Questa distinzione è dovuta al fatto che i gruppi semplici sono (sotto certi presupposti) classificati in diverse serie infinite (spesso quattro) e un numero finito di altri gruppi (spesso cinque), e sono questi ultimi gruppi che sono eccezionali, e lo fanno non rientrano nell'algebra lineare (almeno non allo stesso modo): sono spesso legati a strutture algebriche non associative ( algebre di ottani , algebre di Jordan eccezionali, per esempio).

Ai gruppi di Lie o semplici algebrici sono associati i diagrammi Dynkin (tipi di grafici), e certe proprietà di queste geometrie possono essere lette in questi diagrammi.

Aree di ricerca sulla geometria

geometria riemanniana

La geometria riemanniana può essere vista come un'estensione della geometria euclidea. Il suo studio si concentra sulle proprietà geometriche degli spazi ( varietà ) presentando una nozione di vettori tangenti, e dotato di una metrica ( metrica Riemanniana ) che permette di misurare questi vettori. I primi esempi incontrati sono le superfici dello spazio euclideo tridimensionale , le cui proprietà metriche furono studiate da Gauss nel 1820. Il prodotto euclideo induce una metrica sulla superficie studiata per restrizione ai vari piani tangenti. La definizione intrinseca di metrica è stata formalizzata in dimensione superiore da Riemann. La nozione di trasporto parallelo permette il confronto di spazi tangenti in due punti distinti della varietà: mira a trasportare coerentemente un vettore lungo una curva tracciata sulla varietà Riemanniana. La curvatura di una varietà Riemanniana misura per definizione la possibile dipendenza del trasporto parallelo da un punto all'altro dalla curva che li collega.

La metrica dà luogo alla definizione della lunghezza delle curve, da cui deriva la definizione della distanza Riemanniana. Ma le proprietà metriche dei triangoli possono differire dalla trigonometria euclidea. Questa differenza è in parte studiata attraverso il teorema di Toponogov , che permette di confrontare almeno localmente la varietà Riemanniana studiata con spazi modello, secondo disuguaglianze presumibilmente note sulla curvatura della sezione. Tra gli spazi modello:

  • lo spazio euclideo è una varietà Riemanniana con curvatura zero;
  • la sfera di dimensione n è una varietà Riemanniana di curvatura positiva costante 1;
  • lo spazio iperbolico di dimensione n è una varietà Riemanniana con curvatura negativa -1.

Geometria complessa

La complessa geometria riguarda le proprietà del campo con cui può identificarsi localmente . Questi oggetti ( collettore complesso ) presentano una certa rigidità, derivante dall'unicità di un'estensione analitica di una funzione a più variabili.

Simplettica e di contatto geometrie

La geometria simplettica è una branca della geometria differenziale e può essere introdotta come generalizzazione a dimensioni superiori del concetto di area orientata riscontrato in dimensione 2. Essa è relativa a forme bilineari alternate. Gli oggetti di questa geometria sono le varietà simplettiche, che sono varietà differenziali dotate di un campo di forme bilineari alternate. Ad esempio, uno spazio affine attaccato a uno spazio vettoriale dotato di una forma bilineare alternata non degenere è una varietà simplettica.

La geometria del contatto è una branca della geometria differenziale che studia le varietà di contatto, che sono varietà differenziali dotate di un campo di spazi tangenti iperpiani che verificano determinate proprietà. Ad esempio, lo spazio proiettivo deduce che uno spazio vettoriale provvisto di una forma bilineare alternata non degenere è una varietà di contatto.

Geometrie discrete e convesse

Geometrie algebriche e aritmetiche

Geometria non commutativa

Applicazioni di geometria

Per molto tempo la geometria e l' astronomia sono state collegate. A livello elementare, il calcolo delle dimensioni della Luna, del Sole e delle rispettive distanze dalla Terra utilizza il teorema di Talete . Nei primi modelli del sistema solare, ogni pianeta era associato a un solido platonico . Dalle osservazioni astronomiche di Keplero , confermate dal lavoro di Newton , è stato dimostrato che i pianeti seguono un'orbita ellittica in cui il Sole è uno dei punti focali. Tali considerazioni di natura geometrica possono comunemente intervenire nella meccanica classica per descrivere qualitativamente le traiettorie .

In questo senso, la geometria interviene in ingegneria nello studio della stabilità di un sistema meccanico. Ma interviene in modo ancora più naturale nel design industriale . Il disegno industriale mostra le sezioni o le proiezioni di un oggetto tridimensionale ed è annotato con lunghezze e angoli. Questo è il primo passo per la creazione di un progetto di design industriale . Recentemente, il matrimonio della geometria con l' informatica ha permesso l'avvento della progettazione assistita da computer (CAD), dei calcoli agli elementi finiti e della computer grafica .

La trigonometria euclidea viene utilizzata in ottica per trattare, ad esempio, la diffrazione della luce. È anche all'origine dello sviluppo della navigazione  : navigazione marittima con stelle (con sestanti ), cartografia, navigazione aerea (pilotaggio con strumenti che utilizzano segnali di beacon).

Nuovi progressi in geometria al XIX °  secolo trovato eco in fisica. Si dice spesso che la geometria riemanniana sia stata inizialmente motivata dalle domande di Gauss sulla mappatura della Terra. Tiene conto in particolare della geometria delle superfici nello spazio. Una delle sue estensioni, la geometria Lorentziana , fornì il formalismo ideale per formulare le leggi della relatività generale . La geometria differenziale ha trovato nuove applicazioni nella fisica post-newtoniana con la teoria delle stringhe o delle membrane .

La geometria non commutativa , inventata da Alain Connes , sta guadagnando terreno per presentare buone strutture matematiche con cui lavorare per sviluppare nuove teorie fisiche.

Educazione alla geometria

La geometria occupa un posto privilegiato nell'insegnamento della matematica . Numerosi studi didattici ne dimostrano l'interesse  : permette agli alunni di sviluppare una riflessione sui problemi, di visualizzare figure del piano e dello spazio, di scrivere dimostrazioni , di dedurre i risultati di ipotesi formulate. Ma ancor di più, «il ragionamento geometrico è molto più ricco della semplice deduzione formale», perché si basa sull'intuizione nata dall'«osservazione delle figure».

Negli anni '60, l'insegnamento della matematica in Francia ha insistito per mettere in pratica i problemi di geometria nella vita quotidiana. In particolare, il teorema di Pitagora è stato illustrato dalla regola del 3, 4, 5 e dal suo utilizzo in falegnameria. Involuzioni, divisioni armoniche e rapporti incrociati facevano parte del curriculum delle scuole superiori. Ma la riforma della matematica moderna , nata negli Stati Uniti e adattata in Europa, ha portato a una notevole riduzione delle conoscenze insegnate in geometria per introdurre l'algebra lineare nel secondo grado. In molti paesi questa riforma è stata fortemente criticata e designata come responsabile degli insuccessi scolastici . Una relazione di Jean-Pierre Kahane denuncia la mancanza di “una vera riflessione didattica preliminare” sul contributo della geometria: in particolare, una “pratica di geometria vettoriale” prepara l'allievo ad una migliore assimilazione delle nozioni formali di spazio vettoriale, bilineare ...

L'uso delle figure nell'insegnamento di altre materie permette agli studenti di comprendere meglio gli argomenti presentati. NB Nella didattica della Matematica, di solito si fa la differenza tra le nozioni di "disegno" (eseguito con strumenti come righelli, compassi...), di "diagramma" (eseguito a mano libera e che serve da supporto concreto al ragionamento astratto per eseguire) e "figura" (oggetto geometrico astratto su cui in definitiva si riferisce il ragionamento, e ciascuno dei quali ha una propria rappresentazione mentale: ad esempio possiamo avere una diversa rappresentazione mentale, salvo una somiglianza, del triangolo equilatero "figura" ) . Con queste distinzioni, ciò che è rappresentato graficamente evocherebbe quindi una "figura", ma non lo sarebbe. .

Note e riferimenti

  1. Fritz Reinhardt e Heinrich Soeder, Atlas of Mathematics , Pocket Book, p.  13 .
  2. Jean-Pierre Kahane (a cura di), L'insegnamento delle scienze matematiche: Commissione di riflessione sull'insegnamento della matematica [ dettaglio delle edizioni ], cap. 3, “Geometria”.
  3. Alain Michel, “Geometrizzazione della teoria fisica: sulla genesi di un problema”, in Kouneiher & al.
  4. Jean-Jacques Szczeciniarz, “Filosofia e geometria: l'ascesa della geometria, i suoi effetti filosofici”, in Kouneiher & al.
  5. Gerhard Heinzmann, “Geometria e principio di idoneità: una rilettura di Ferdinand Gonseth”, in Kouneiher & al.
  6. Mueller-Jourdan 2007 , p.  73
  7. Henri Poincaré , Scienza e ipotesi , Champs Flammarion,.
  8. fino a un certo limite perché alcune geometrie non rientrano in questo quadro.
  9. In una certa misura e approssimativamente, questo aiuta anche a distinguere da  ; l'interno dell'esterno.
  10. Jean-Pierre Provost e Gérard Vallée, Maths in Physics: Physics through the Filter of Mathematics , Paris, Éditions Dunod , coll.  "Sup Scienze",, 1 °  ed. , 331  pag. ( ISBN  2-10-004652-7 ) , pag.  51.
  11. Denis Rolland, Architettura rurale in Piccardia: il Soissonnais , CREER, 1998 ( ISBN  978-2-909797-25-0 ) , p.  49 .

Vedi anche

Bibliografia

  • Charles Mugler, “  Sulla storia di alcune definizioni della geometria greca e del rapporto tra geometria e ottica (parte prima)  ”, Antichità classica , vol.  26, n .  2, pag.  331-345 ( letto online , consultato il 28 gennaio 2020 ).
  • Charles Mugler, “  Sulla storia di alcune definizioni della geometria greca e del rapporto tra geometria e ottica (continua)  ”, Antichità classica , vol.  27, n °  1,, pag.  76-91 ( letto online , consultato il 28 gennaio 2020 )
  • Pascal Mueller-Jourdan , Un'iniziazione alla filosofia della tarda antichità: lezioni da Pseudo-Elias , Fribourg / Paris, Éditions du Cerf ,, 143  pag. ( ISBN  978-2-204-08571-7 ). Libro utilizzato per scrivere l'articolo
  • Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, translation and editing: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series , vol. 4, Società matematica europea, 2010.
  • Jean-Paul Collette, Storia della matematica , vol.  2, Vuibert,( ISBN  2-7613-0118-8 ) , Capitolo 10: Il rinnovo della geometria XIX °  secolo .
  • A. Dahan-Dalmedico e J. Peiffer , Storia della matematica: strade e labirinti ,[ dettaglio delle edizioni ]
  • Joseph Kouneiher Dominique Flament Philippe Nabonnand e Jean-Jacques Szczeciniarz ( eds. ), Geometria del XX °  secolo di storia e sfondi [[[Riferimento: Geometria nel XX °  secolo di storia e sfondi (Joseph Kouneiher Dominique Flament Philippe Nabonnand, Jean-Jacques Szczeciniarz , dir.) | Dettaglio edizioni]]]

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