Varietà a bordo

In topologia , un collettore di bordo è un'estensione del concetto di collettore topologico o, a seconda del contesto, collettore differenziale . Una varietà in senso ordinario, talvolta chiamata “senza confini”, è uno spazio topologico modellato localmente (cioè omeomorfo a) su uno spazio euclideo . Le varietà sul bordo assomigliano all'intorno di ciascun punto nello spazio euclideo o in un semispazio. La nozione di bordo di una varietà (sul bordo) è quindi ben definita, e questo bordo è a sua volta una varietà (senza bordo) che può portare a sua volta strutture compatibili con quelle della varietà originaria. Rnon{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

Nella topologia differenziale , la nozione di arco di una varietà è utile per enunciare una versione generale del teorema di Stokes . Tale formula può essere interpretata come una dualità tra un operatore edge e la derivata esterna , a condizione di ampliare sufficientemente il quadro di studio, introducendo il concetto di corrente .

Definiamo una relazione di cobordismo tra due varietà come formante insieme il bordo di una varietà di dimensioni maggiori. Questa relazione è uno strumento fondamentale per la classificazione delle varietà.

Definizione

Una varietà di contorno M di dimensione n è definita come uno spazio separato in cui ogni punto ammette un intorno omeomorfo o allo spazio euclideo ℝ n o al semispazio formato dagli elementi di ℝ n la cui ultima coordinata è positiva. Una variante di questa definizione consiste nel chiedere che ogni punto ammetta un intorno omeomorfo ad uno aperto di questo semispazio.

Distinguiamo poi l'interno Int (M) di M , formato dai punti che ammettono un intorno omeomorfo o allo spazio euclideo ℝ n , che è una varietà in senso ordinario, e il confine della varietà che coincide con la nozione di confine nel senso topologico di Int (M) . ∂M{\ displaystyle \ parziale M}

Ad esempio, la palla è una varietà il cui bordo è la sfera, e allo stesso modo il toro può essere visto come il bordo del toro solido.

Il bordo, quando non è vuoto, è esso stesso naturalmente dotato di una struttura multiforme topologica di dimensione n-1 , ma questa volta è una varietà senza confine: . In questo possiamo opporre varietà di bordo a poliedri o complessi CW per i quali abbiamo una successione di celle di dimensioni sempre più piccole. ∂(∂M)=∅{\ displaystyle \ partial (\ partial M) = \ emptyset}

Strutture complementari

Le varietà possono essere fornite a bordo con strutture complementari, a volte con esigenze o convenzioni specifiche. In tal modo

• il dato di un orientamento su un collettore di bordo induce un orientamento del bordo;
• per un collettore differenziale a bordo, le applicazioni differenziabili definite in "quadri a bordo" devono ammettere estensioni lisce; esiste quindi un vero spazio tangente anche nei punti del bordo.

Applicazioni

Formula Stokes

Il teorema di Stokes ha affermazioni che possono variare leggermente. Si integra una forma differenziale su una varietà di spigolo M , ed esiste un'assunzione di compattezza che può riferirsi sia al supporto dell'uno, sia all'altro. Il teorema mostra la derivata esterna d di su M e la forma indotta da sul bordo. Formalmente si tratta dell'immagine reciproca di per iniezione canonica , ma è frequente assimilarla a nelle notazioni. io*ω{\ displaystyle i ^ {*} \ omega}io:∂M→M{\ displaystyle i: \ parziale M \ in M}

Teorema di Stokes  -  Sia M una varietà differenziale compatta, orientata, n orientata di classe C k . Ω è una ( n -1) - forma differenziale su M . Quindi, fornendo il bordo ∂ M con l'orientamento indotto, si ha:

∫Mdω=∫∂Mω{\ displaystyle \ int _ {M} \! \ mathrm {d} \ omega = \ int _ {\ parziale M} \! \ omega}

Possiamo dare una scrittura formale associata a questo teorema, che assume un significato più profondo nell'ambito della teoria delle correnti  : si tratta di una forma di dualità tra operatori "bordo" e "derivata esterna"

<∂M,ω> = <M,dω>.{\ displaystyle <\ M parziale, \ omega> = <M, \ mathrm {d} \ omega>.}

relazione cobordime

Due varietà compatte M e N si dicono cobordanti o in cobordismo se la loro unione disgiunta può essere ottenuta come il bordo di una varietà con bordo L compatto . Cobordismo fornisce una relazione di equivalenza (classi) varietà compatte molto grossolana rispetto diffeomorfismi o omeomorfismi ma che rende la classificazione delle varietà più accessibili.

Note e riferimenti

1. (it) Allen Hatcher , Topologia algebrica , CUP ,2001, XII + 544  p. ( ISBN  978-0-521-79540-1 , leggi online ), pag. 252.
2. Ad esempio (it) Thierry Aubin , Alcuni problemi non lineari nella geometria riemanniana , Berlino, Springer-Verlag, coll.  "Monografie Springer in matematica",1998( ISBN  3-540-60752-8 ), pag.  25 .
3. Hatcher 2001 , p. 253.
4. Patrick Massot, corso di topologia differenziale , 2016, p. 30.
5. Aubin 1998 , p.  26 .
6. (in) Robert Stong, Notes on cobordism Theory , Princeton University Press,1968