Questo articolo è utile per gli studenti delle scuole superiori e delle scuole tecniche. Il microprocessore , il cervello del computer, esegue tutti i calcoli.
Una base B caratterizza un sistema di numerazione in cui è possibile scrivere qualsiasi numero N: N = m n B n + m n-1 B n-1 + M 1 B + m 0 B 0 con tutti i coefficienti m <B.
Esempi| Base decimale | Base binaria | Base ottale | Base esadecimale |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | VS |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10.000 | 20 | 10 |
| 17 | 10001 | 21 | 11 |
| 18 | 10010 | 22 | 12 |
| ... | ... | ... | ... |
Rappresentare un numero N B di n cifre (o simboli), in una data base B, consiste nello scrivere queste n cifre in linea in modo tale che: N B = (§) n-1 … (§) i ... ( §) 5 (§) 4 (§) 3 (§) 2 (§) 1 (§) 0
Con: §: una qualsiasi delle cifre B o dei simboli della base, n - 1, .... i, 5, 4, 3, 2, 1, 0 indici che indicano il rango o la posizione dell'ordine della cifra dal giusto.
La ponderazione consente l'attribuzione di un valore numerico o di un peso a ciascuno dei ranghi. Questo peso P dipende dalla base in cui è rappresentato il numero e ha il valore: P = B rank
EsempioNel numero decimale 425, il numero 5 è in posizione di ordine 1 o di rango 0, il numero 2 in posizione di ordine 2 o di rango 1 e il numero 4 in posizione di ordine 3 o di rango 2.
4 2 5 numero
2 1 0 righe
Per la base 10, sistema decimale:
Nel sistema binario non si parla più di unità, dieci o cento ma di bit (contrazione della cifra binaria inglese, che significa rango binario). Distinguiamo quindi bit 0, bit 1, bit 2, bit 3 ... L'equivalente francese di bit è elemento binario o eb , questo termine è relativamente poco utilizzato.
Il codice binario puro o codice binario naturale è un codice ponderato in cui i pesi sono rappresentati da potenze di due successive. Il valore decimale del numero binario rappresentato si ottiene direttamente sommando il peso assegnato ad ogni bit di valore 1.
Un gruppo di otto bit è chiamato byte (in inglese byte di 8 bit ). Un gruppo di quattro bit è chiamato quartetto (in inglese byte di 4 bit ).
Il numero binario 110011 ha il valore: 1 × 2 5 + l × 2 4 + 0 × 2 3 + 0 × 2 2 + 1 × 2 1 + 1 × 2 0 In entrambi i decimali: 32 + 16 + 0 + 0 + 2 +1 = 51
| 2 4 (16) | 2 3 (8) | 2 2 (4) | 2 1 (2) | 2 0 (1) | Equivalente decimale N (10) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 1 | 0 | 2 | |||
| 0 | 0 | 1 | 1 | 2 + 1 o 3 | |||
| 0 | 1 | 0 | 0 | 4 | |||
| 0 | 1 | 0 | 1 | 4 + 1 o 5 | |||
| 0 | 1 | 1 | 0 | 4 + 2 o 6 | |||
| 0 | 1 | 1 | 1 | 4 + 2 + 1 o 7 | |||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 8 | |||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 8 + 1 o 9 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 | 8 + 2 o 10 | |||
| 1 | 0 | 1 | 1 | 8 + 2 + 1 o 11 | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 8 + 4 o 12 | |||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 8 + 4 + 1 o 13 | |||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 8 + 4 + 2 o 14 | |||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 8 + 4 + 2 + 1 o 15 | |||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 16 | ||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 16 + 1 o 17 | ||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 16 + 2 o 18 |
Nel codice binario puro, il passaggio da una combinazione all'altra a volte porta alla modifica simultanea di più bit. È ad esempio il caso del passaggio dall'equivalente decimale 3 all'equivalente decimale 4 per cui i bit di peso 1 e 2 vanno da 1 a 0 e il bit di peso 4 va da 0 a 1. Per evitare questo inconveniente, la causa dei pericoli quando il codice è utilizzato per rappresentare grandezze fisiche variabili in modo continuo, informazioni di posizione ad esempio, è necessario immaginare codici per i quali il passaggio da una combinazione all'altra comporta la modifica di un solo bit e di uno solo. Tali codici sono chiamati "codici riflessi". Di questi, il codice Gray è il più utilizzato.
Ulteriori informazioni sul Codice di Gray sono disponibili su Internet. Vedi su Google.
Un codice riflesso che è un codice non ponderato non può essere utilizzato per operazioni aritmetiche.
La rappresentazione esadecimale o la rappresentazione in base 16 è una notazione ridotta di numeri binari. Notando che 24 = 16, possiamo rappresentare un byte binario utilizzando uno dei 16 simboli del sistema esadecimale. In questo sistema i primi dieci simboli sono identici a quelli usati nel sistema decimale: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, e gli ultimi sei corrispondono alle prime lettere dell'alfabeto latino : A, B, C, D, E e F, che sono rispettivamente: 10, 11, 12, 13, 14 e 15 in base 10.
Per rappresentare un numero binario in esadecimale, è sufficiente dividerlo in gruppi di quattro bit. Ciascuno dei bit in questi gruppi con un peso compreso tra 20 e 23, la loro somma fornisce il valore esadecimale di ciascun gruppo.
EsempioO il numero binario 1011100110101100 da convertire in esadecimale. La divisione in quartetti di questo numero dà: 1011 1001 1010 1100
Dopo la ponderazione, la somma S, bit per bit di ciascun gruppo di quattro bit è:
| 2 3 (8) | 2 2 (4) | 2 1 (2) | 2 0 (1) | S | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 1 | 11 | Sia B (16) |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 9 | Oppure 9 (16) |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 10 | Sia A (16) |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 12 | Sia C (16) |
Il numero esadecimale corrispondente al numero binario 1011100110101100 è: B9AC
Per convertire un numero esadecimale in binario, ogni simbolo esadecimale deve essere sostituito dal suo nibble binario equivalente.
EsempioI tre quartetti binari equivalenti al numero esadecimale 8D6 sono:
| 2 3 (8) | 2 2 (4) | 2 1 (2) | 2 0 (1) | |
|---|---|---|---|---|
| 8 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| D | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Il numero binario corrispondente al numero esadecimale 8D6 è: 1000 1101 0110.
Come la rappresentazione esadecimale, la rappresentazione ottale o la rappresentazione in base 8 è una notazione condensata di numeri binari. Notando che 2 3 = 8, possiamo rappresentare una terzina binaria utilizzando uno degli 8 simboli del sistema ottale. Questi otto simboli sono identici alle prime otto cifre del sistema decimale, ovvero: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
Per rappresentare un numero binario in ottale, è sufficiente dividerlo in un gruppo di tre bit o terzine. Ciascuno dei bit di questi gruppi aventi un peso compreso tra 2 0 e 2 2, la loro somma fornisce il valore ottale di ciascun gruppo.
Lascia che il numero binario 110101100 venga convertito in ottale. La divisione in triple di questo numero dà: 110 101 100.
Dopo la ponderazione, la somma S, bit per bit di ogni gruppo è:
| 2 2 (4) | 2 1 (2) | 2 0 (1) | S | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 6 | Oppure 6 (8) |
| 1 | 0 | 1 | 5 | Oppure 5 (8) |
| 1 | 0 | 0 | 4 | Oppure 4 (8) |
Il numero ottale corrispondente al numero binario 110101100 è: 654
Nella rappresentazione decimale codificata in binario, a ciascuno degli elementi decimali corrisponde un bocconcino rappresentativo del suo equivalente binario.
In tal modo :
I possibili valori di un bocconcino di bit maggiori di nove 1010 (2) , 1011 (2) , 1100 (2) , 1101 (2) , 1110 (2) e 1111 (2) , mostrati anche come A (16) , B (16) , C (16) , D (16) , E (16) , F (16) , non sono validi e non sono utilizzati nella rappresentazione binaria con codice decimale.
Il codice BCD (Binary Coded Decimal) è un codice ponderato. I pesi bit rappresentativi sono:
Il numero decimale 2001 (10) diventa in BCD: 0010 0000 0000 0001. Al contrario, il numero BCD 1001 0101 0001 0111 diventa in decimale 9517 .
| base decimale |
binario di base |
base ottale |
base esadecimale |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | VS |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10.000 | 20 | 10 |
| 17 | 10001 | 21 | 11 |
| 18 | 10010 | 22 | 12 |
| ... | ... | ... | ... |
Il metodo consiste nel scomporre il numero in potenze decrescenti di 2 partendo dal rango più alto, ovvero:
Eseguiamo divisioni successive per 2 (vedi sopra).
Esadecimale - conversione decimaleIl metodo consiste nel scomporre il numero in potenze decrescenti di 16 partendo dal rango più alto, ovvero:
Effettuiamo divisioni successive per 16 (vedi sopra).
Ottale - conversione decimaleIl metodo consiste nel scomporre il numero in potenze decrescenti di 8 partendo dal grado più alto, ovvero:
Eseguiamo divisioni successive per 8 (vedi sopra).
Le operazioni più frequenti in base 2 sono l'addizione e la sottrazione. Queste operazioni vengono eseguite allo stesso modo delle operazioni decimali utilizzando tabelle di addizione e sottrazione più semplici.
L'addizione è l'operazione che consiste nell'eseguire, in primo luogo, la somma S i di due cifre binarie dello stesso rango come ad esempio A i e B i , poi, in secondo luogo, una seconda somma tra il risultato precedentemente ottenuto e il valore di il carryover o R i-1 mantenuto , risultante dall'aggiunta a valle del rango i - 1.
EsempioEseguire l'aggiunta di due numeri binari A e B come:
Ripartizione della procedura:
Il risultato finale è quindi: 1001 o 9 in decimale (6 + 3 = 9).