Teorema di Slutsky
In probabilità , il teorema di Slutsky estende alcune proprietà algebriche della convergenza di successioni numeriche alla convergenza di successioni di variabili casuali .
Il teorema prende il nome da Eugen Slutsky . Anche il teorema di Slutsky è attribuito ad Harald Cramér .
stati
{ X n }, { Y n } sono sequenze di variabili casuali con valore rispettivamente in R p e R q .
Teorema di Slutsky - Se X n converge di diritto a X , e se Y n converge in probabilità a una costante c , allora la coppia ( X n , Y n ) converge di diritto alla coppia ( X , c ).
Ad esempio, se { X n }, { Y n } sono vettori o matrici che possono essere sommati o moltiplicati, abbiamo la convergenza nella legge di X n + Y n verso X + c , e di Y n X n verso cX .
Nota - Nell'enunciato del teorema, l'ipotesi “ Y n converge in probabilità ad una costante c ” è infatti equivalente all'ipotesi “ Y n converge di diritto ad una costante c ”.
DimostrazioneL'implicazione diretta è ben nota ( evidenza ). Al contrario, è sufficiente notare che è un aperto e che quindi (vedi punto 4 del teorema dell'attaccapanni )
Appunti:
- L'ipotesi che Y n converge a una costante è importante: se il limite fosse una variabile non degenere, il teorema non sarebbe più valido.
- Il teorema rimane valido quando sostituiamo tutte le convergenze di diritto con convergenze di probabilità.
Avere
Pagina collegata
Bibliografia
- (en) G. Grimmett e D.Stirzaker , Probability and Random Processes , Oxford,2001, 3 e ed.
- (it) Allan Gut , Probability: a graduate course , Springer-Verlag ,2005( ISBN 0-387-22833-0 , leggi online )
- (de) E. Slutsky , " Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte " , Metron , vol. 5, n o 3,1925, p. 3–89 Zbl 51.0380.03
Appunti
- Grimmett 2001 , esercizio 7.2.5
- Slutsky 1925
- Se dobbiamo credere all'osservazione 11.1 di Gut 2005 , p. 249, il teorema di Slutsky è anche chiamato teorema di Cramér .
- Vedi Patrick Billingsley, Convergence of Probability Measures, p.27