Teorema di Rao-Blackwell

Natura	Teorema
Chiamato in riferimento a	David Blackwell , Calyampudi Radhakrishna Rao
Formula	${\ Displaystyle f (n) = f (n-1) + \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} \ sinistra (1+ \ sinistra (ni-1 \ destra) \ sinistra (i-1 \ giusto giusto)}$

In statistica , il teorema di Rao - Blackwell consente a uno stimatore di costruire uno stimatore più preciso grazie all'uso di una statistica sufficiente . Il vantaggio di questo teorema è che lo stimatore iniziale non deve necessariamente essere molto buono per lo stimatore che questo teorema costruisce per fornire buoni risultati. È sufficiente che lo stimatore iniziale sia corretto per poter costruire un nuovo stimatore. Tra le altre cose, lo stimatore iniziale non deve essere convergente o efficiente.

Teorema

Se è uno stimatore imparziale e S è una statistica sufficiente, lo stimatore aumentato ha una varianza minore della varianza dello stimatore originale. Lo stimatore aumentato è quindi sempre più preciso dello stimatore iniziale se incrementato di una statistica sufficiente. $\delta$ ${\ mathbb {E}} (\ delta | S)$

Nel caso multiparametrico in cui lo stimatore e il parametro hanno dimensioni maggiori di 1, la varianza è sostituita dalla matrice varianza-covarianza A. Il teorema di Rao-Blackwell fornisce quindi:

Qualunque sia A definito positivo , l'errore al quadrato utilizzando il prodotto scalare definito da A è sempre minore per lo stimatore aumentato rispetto allo stimatore iniziale.

Il fatto di poter prendere qualsiasi prodotto scalare e non solo il solito prodotto scalare può essere molto utile in modo che i diversi componenti non vengano normalizzati allo stesso modo. Questo può essere il caso, ad esempio, se un errore su uno o l'altro dei componenti “costa di più” si potrà scegliere una matrice di prodotto scalare in base a. Lo stimatore aumentato sarà sempre preferibile anche con questo insolito prodotto a punti.

Infatti Rao Blackwell teorema cede leggermente visto dire che qualunque sia la perdita convessa funzione L . Lo stimatore aumentato è quindi sempre più preciso, indipendentemente dalla (ragionevole) definizione data a "preciso". ${\ displaystyle \ mathbb {E} (L (\ mathbb {E} (\ delta | S), \ theta)) \ leq \ mathbb {E} (L (\ delta, \ theta))}$

Esempio

Consideriamo quindi n variabili casuali iid distribuite secondo le leggi dei parametri di Poisson e proviamo a stimarle . Possiamo dimostrarlo abbastanza facilmente considerando il criterio di fattorizzazione che è una statistica esaustiva. Per mostrare l'interesse di questo teorema prendiamo uno stimatore grossolano che vale 1 se e 0 se no. Questo stimatore prende in considerazione solo un singolo valore di X quando abbiamo n e risulta solo 0 o 1 mentre il valore di appartiene all'intervallo] 0,1] e non è valido senza dubbio 1. (se fosse il case sarebbe 0 deterministicamente e avremmo notato guardando i dati). Tuttavia, sebbene questo stimatore sia molto grossolano, lo stimatore aumentato ottenuto è molto buono e possiamo anche dimostrare che è ottimale. Lo stimatore aumentato vale: $X_ {i}$ $\ lambda$ $e ^ {{- \ lambda}}$ $S = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} X _ {{i}}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ lambda} \ due punti \ delta _ {0} = \ delta (X_ {1}, 0)}$ $X_ {1} = 0$ $e ^ {{- \ lambda}}$ $X_ {i}$

\ delta _ {1} = {\ mathbb {E}} (\ delta _ {0} | S). \, \!

Possiamo dimostrare che:

Dettagli di calcolo

${\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {1} = k | \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} = S) = {\ frac {\ mathbb {P} (X_ {1} = k \, e \, \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} = S)} {\ mathbb {P} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} = S)}} = {\ frac {\ mathbb {P} (X_ {1} = k \ e \, \ sum _ {i = 2} ^ {n} X_ {i} = Sk)} {\ mathbb {P} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} = S)}}}$

E con l'indipendenza di : $X_ {i}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {1} = k | \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} = S) = {\ frac {\ mathbb {P} (X_ {1} = k) \ mathbb {P} (\ sum _ {i = 2} ^ {n} X_ {i} = Sk)} {\ mathbb {P} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ { i} = S)}}}$

Se segue una distribuzione di Poisson di parametro allora la funzione generatrice è degno . Con le proprietà della funzione generatrice, deduciamo che la somma di n variabili iid che seguono le leggi di Poisson del parametro è una legge di Poisson del parametro . Deduciamo le probabilità e seguiamo una distribuzione binomiale B (S, 1 / n). Il valore in k = 0 ci fornisce lo stimatore . In effeti,

X_ {i}

\ lambda

\ phi _ {{X_ {i}}} (t) = \ e ^ {{\ lambda (t-1)}}

\ lambda

n \ lambda

{\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {1} = k | \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} = S) = C_ {S} ^ {k} \, {\ frac { (n-1) ^ {Sk}} {n ^ {S}}}}

X_ {1}

\ delta _ {1}

{\ displaystyle \ delta _ {1} = \ mathbb {E} (\ delta _ {0} | S) = 1. \ mathbb {P} (X_ {1} = 0 | \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} = S) +0. \ mathbb {P} (X_ {1} \ neq 0 | \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} = S)}

\ delta _ {1} = \ left (1- {1 \ over n} \ right) ^ {{S}}. \, \!

$\ delta _ {1}$ è proprio come uno stimatore del mais ha il vantaggio di essere molto più preciso grazie all'applicazione del teorema di Rao - Blackwell. $\ delta _ {0}$ $e ^ {{- \ lambda}}$

Possiamo mostrare che è uno stimatore ottimo di (Vedi Teorema di Lehmann-Scheffé ) ma che lo stimatore ottimo per è diverso da . $\ delta _ {2} = {\ frac {S} {n}}$ $\ lambda$ $e ^ {{- \ lambda}}$ $e ^ {{- \ delta _ {2}}}$

Infatti sebbene sia uno stimatore convergente ne è uno stimatore di qualità relativamente scarsa perché è di parte e che stimandolo in questo modo si commette un errore sistematico sulla stima. In generale, può essere interessante per la stima costruire uno stimatore specifico piuttosto che calcolare il valore assunto dallo stimatore di . $e ^ {{- \ delta _ {2}}}$ $e ^ {{- \ lambda}}$ $f (\ lambda)$ $f$ $\ lambda$

Vedi anche

Riferimenti

A. Montfort Corso di statistica matematica , 1982, Economica. Parigi.

link esterno

P. Druilhet “ http://www.ensai.com/upload/files/BIBFILE_FILE_KcEegDc.pdf ” ( Archive • Wikiwix • Archive.is • Google • Cosa fare? ) Corso di statistica interferenziale.