Raggio di curvatura

Il raggio di curvatura di una linea, generalmente indicato con ρ (lettera greca rho) indica il suo livello di curvatura: maggiore è il raggio di curvatura, più la linea è vicina ad una retta, e viceversa. Matematicamente, il raggio di curvatura è il valore assoluto del raggio del cerchio tangente alla curva nel punto desiderato, un cerchio che lì "segua nel miglior modo possibile questa curva". Questo cerchio è chiamato cerchio osculatore in corrispondenza della curva in questo punto. Il raggio di curvatura è anche l' inverso della curvatura γ: ρ = 1 / γ.

Raggio di curvatura di un arco piano

Considera un piano dotato di un sistema di coordinate ortonormale e un arco in questo piano.

Se l'arco è definito da un'equazione parametrica ( x ( t ), y ( t )), allora il raggio di curvatura è:

{\ displaystyle \ rho (t) = {\ frac {(x ^ {\ prime 2} + y ^ {\ prime 2}) ^ {3/2}} {x'y '' - y'x ''} } \ quad {\ text {con}} \ quad x '= {\ frac {dx} {dt}}, \ quad x' '= {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}} }, \ quad y '= {\ frac {dy} {dt}} \ quad {\ mbox {et}} \ quad y' '= {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}} }}

in particolare in coordinate polari , , con differenziabile due volte, $x (t) = r (t) \ cos (t)$ $y (t) = r (t) \ sin (t)$ $r (t)$

\ rho (t) = {\ frac {(r '^ {2} (t) + r ^ {2} (t)) ^ {{3/2}}} {2r' ^ {2} (t) + r ^ {2} (t) -r (t) r '' (t)}}

quando il denominatore è diverso da zero.

Se l'arco è definito da un'equazione cartesiana y = ƒ ( x ), allora il raggio è:

{\ displaystyle \ rho (x) = \ left | {\ frac {(1 + y ^ {\ prime 2}) ^ {3/2}} {y ''}} \ right |}

Quando la derivata è piccola ( y ' << 1), cioè quando la tangente è prossima all'orizzontale, spesso prendiamo l'approssimazione (1 + y' 2 ) donc 1 e quindi

( x ) ≈ 1 / y '' .

Applicazioni

In ottica geometrica, il raggio di curvatura permette di distinguere diversi tipi di lenti ottiche . Infatti, una lente è costituita da una faccia di entrata e di uscita, che può essere curva o piatta. Pertanto, le lenti vengono classificate grazie alle proprietà di simmetria tra le due facce e in base al valore del loro raggio di curvatura.
Il raggio di curvatura di una linea ferroviaria è spesso limitato da un minimo per consentire ai treni di utilizzarla, poiché non possono svoltare troppo brutalmente pena il deragliamento (trasportato dalla loro forza d'inerzia). .).

Vedi anche

Riferimenti

(in) Mr. Bourne, " 8. Radius of Curvature " su http://www.intmath.com (consultato il 4 giugno 2017 )