In matematica , l' ordine delle operazioni o l' ordine delle operazioni specifica l'ordine in cui devono essere eseguiti i calcoli in un'espressione complessa.
Le regole di priorità sono:
Se interpretiamo la sottrazione come l'addizione dell'opposto e la divisione come la moltiplicazione per l'inverso, possiamo liberarci dell'ultima regola. Pertanto, un calcolo come 2 - 0,5 + 1,5 viene eseguito nell'ordine a sua scelta interpretandolo come somma di termini positivi o negativi
2 - 0,5 + 1,5 = 1,5 + 1,5 = 3 2 - 0,5 + 1,5 = 2 + (-0,5 + 1,5) = 2 + 1 = 3 2 - 0,5 + 1,5 = 2 + 1,5 - 0,5 = 3,5 - 0,5 = 3(ma non eseguiremo: 2 - (0,5 + 1,5) = 2 - 2 = 0 )
In un calcolo come 7 + 2 × 6 , viene data priorità alla moltiplicazione:
7 + 2 × 6 = 7 + 12 = 19(e non lo faremo: (7 + 2) × 6 = 9 × 6 = 54 , come saremmo tentati di fare leggendo da sinistra a destra).
L'uso delle parentesi permette quindi di creare un'eccezione alle priorità operative (moltiplicazioni e divisioni che hanno priorità su addizioni e sottrazioni).
Quindi, un calcolo come (7 + 2) × 6 viene eseguito come segue:
(7 + 2) × 6 = 9 × 6 = 54 .Queste quattro regole si completano a vicenda: quindi il calcolo 50 × 2 - [3 + 4 × (11 - 6 + 3) - 1] si esegue come segue:
A = 50 × 2 - [3 + 4 × 8 - 1] (priorità dei calcoli tra parentesi 11 - 6 + 3 ) A = 100 - [3 + 4 × 8 - 1] (priorità alla moltiplicazione 50 × 2 sulla sottrazione che precede le parentesi) A = 100 - [3 + 32 - 1] (priorità alla moltiplicazione 4 × 8 tra parentesi) A = 100 - 34 (priorità alla somma 3 + 32 - 1 tra parentesi) A = 66 (differenza finale)Una calcolatrice scientifica tiene conto di questo ordine di operazioni, ma eseguirà l'addizione e la sottrazione miste, nonché i prodotti e le divisioni miste nell'ordine in cui appaiono gli operandi.
Varie convenzioni regolano l'operatore di sottrazione unario. Nella matematica scritta o stampata, l'espressione -3 2 è interpretata come 0 - (3 2 ) = - 9 .
Alcune applicazioni e linguaggi di programmazione, tra cui Microsoft Excel (ma anche altri fogli di calcolo come LibreOffice ) e il linguaggio di programmazione bc , gli operatori unari hanno una precedenza maggiore rispetto agli operatori binari. Quindi il meno unario ha la priorità sull'elevamento a potenza e quindi, in queste lingue −3 2 è interpretato come (−3) 2 = 9 . Questo non si applica all'operatore binario -. Ad esempio, mentre formule =-2^2e =0+-2^2restituiscono 4 in Microsoft Excel, la formula =0-2^2restituisce -4. Nei casi in cui la notazione può essere interpretata erroneamente, un'operazione binaria può essere rafforzata specificando esplicitamente lo 0 precedente (come in 0-2^2anziché solo -2^2), o aggiungendo parentesi per chiarire il significato atteso.
Un misto di moltiplicazioni e divisioni viene calcolato secondo la convenzione "da sinistra a destra", significato di lettura utilizzato dalla maggior parte dei paesi del mondo. Si leggerà così 80 ÷ 4 × 2 (80 ÷ 4) × 2. Questo permette alla moltiplicazione di mantenere la sua commutatività e di poter riscrivere questo calcolo 2 × 80 ÷ 4 senza cambiarne il risultato. Allo stesso modo, sostituendo la divisione con la moltiplicazione inversa e riscrivendo questo calcolo 80 × 0,25 × 2 anche lì non cambierà il suo risultato.
Un'ambiguità sembra sorgere nell'uso del simbolo barra / all'interno di espressioni come 3/2 x che comunemente leggeremo 3 / (2x). Sembra quindi che la moltiplicazione rilevata dalla giustapposizione , detta anche moltiplicazione implicita sia interpretata come avente una priorità maggiore della divisione, e quindi 3 / 2x, che si può vedere come 3 ÷ 2 x , diventa quindi uguale a 3 ÷ (2 x ) , e non a (3 ÷ 2) x come sarebbe se applicassimo la convenzione "da sinistra a destra".
Si tratta in effetti di un'interpretazione errata. Questi numeri come 2x o 3√5. sono numeri che si esprimono sotto forma di moltiplicazione ma dove la moltiplicazione, che è parte integrante del numero, non fa quindi parte del calcolo.
Quindi questa operazione 3/2x è di fatto una semplice singola divisione del numero "3" per il numero "2x" e in nessun caso questo modo di vedere, ampiamente utilizzato nella comunità scientifica, non può fungere da riferimento o da modello nel calcolo di 3/2 (1 + 2) dove qui 2 (1 + 2), che in realtà dovrebbe essere scritto 2 × (1 + 2), è infatti un calcolo da eseguire e non assimilabile al numero "2x ".
Ovviamente chi vorrà scrivere (3/2) x passerà naturalmente a scrivere 3x/2.
Se l'elevamento a potenza è indicato da una pila di simboli in apice, la regola normale è quella di andare dall'alto verso il basso:
a b c = a ( b c )che tipicamente non è uguale a ( a b ) c .
Tuttavia, quando l'operatore è indicato con un accento circonflesso (^) o una freccia (↑), non esiste una convenzione universale. Ad esempio, Microsoft Excel e il linguaggio di programmazione MATLAB valutano come ( a b ) c , ma Google (motore di ricerca) e WolframAlpha come a ( b c ) . Così viene valutato a 4096 nel primo caso ea 262144 nel secondo. a^b^c4^3^2
Analoga ambiguità sorge nel caso di divisioni successive. Ad esempio, l'espressione 10 ÷ 5 ÷ 2 può essere interpretata come
10 ÷ (5 ÷ 2) = 4o come
(10 ÷ 5) ÷ 2 = 1In questo caso, la convenzione "operazioni da sinistra a destra" che è il riferimento aritmetico risolve l'ambiguità a favore di quest'ultima espressione. Allo stesso modo, l'abitudine matematica di combinare i fattori e rappresentare la divisione come moltiplicazione per il contrario rimuove anche questa ambiguità.
In matematica le operazioni di base, addizione , sottrazione , moltiplicazione , divisione , elevamento a potenza sono binarie, cioè a due elementi, ne associamo un terzo chiamato risultato dell'operazione. In un'espressione complessa, è normalmente necessario trovare queste associazioni a coppie. Le parentesi vengono utilizzate per determinare con precisione quali coppie sono interessate quando non viene applicata la precedenza dell'operazione. Quindi una scritta nella forma non identifica le coppie interessate e può essere la scrittura incompleta di
con eLe parentesi definiscono un ordine di calcolo del primo calcolo delle parentesi più interne .
Ma l'espressione incompleta potrebbe anche essere quella di:
(se prendessimo per convenzione l'ordine di lettura) o altri...Tra la presenza completa di tutte le parentesi e la scrittura ambigua senza parentesi era necessario definire alcune regole.
I primi sono ereditati dalle proprietà di associatività delle leggi utilizzate. Questo è il caso dell'addizione e della moltiplicazione.
Quindi i calcoli di
e
dando lo stesso risultato, si autorizza la cancellazione delle parentesi, il calcolo
possono essere eseguiti nell'ordine che preferiscono. È lo stesso per la scrittura a + b + c che viene eseguita nell'ordine di sua scelta.
Non è lo stesso per le miscele di addizioni e sottrazioni. Quindi i calcoli di
(a - b) + ce di
a - (b + c)non danno lo stesso risultato. La convenzione qui è vedere in una sottrazione l'aggiunta dell'opposto. Una scrittura come a - b + c è quindi un'abbreviazione autorizzata di a + (-b) + c .
Tale convenzione non è così esplicita per i miscugli di divisioni e moltiplicazioni. Calcoli di
(ABCe di
ABC)non danno lo stesso risultato. L'espressione a: bc è talvolta interpretata come (a: b) .c ma questa interpretazione è tutt'altro che universale. Così alcuni calcolatori continuano a eseguire il calcolo di
1: 2a come 1: (2a)E quello di
1: 2 × a come (1: 2) × aScrivere in forma frazionaria, presentando un delimitatore frazionario, evita tale ambiguità e limita l'uso della parentesi:
(a: b) c è quindi scritto , e la scrittura a: (bc) ,Il caso del potere, a causa della sua disposizione spaziale, pone un problema leggermente diverso: il calcolo di (a ^ b) ^ c non ha lo stesso valore di a ^ (b ^ c) . La presenza di un delimitatore spaziale permette in parte di dissipare l'ambiguità: l'espressione
è una traduzione senza parentesi della seconda espressione. La prima espressione richiede la presenza di parentesi o un inizio di calcolo
Vi sono poi livelli operativi che specificano, in assenza di parentesi, i calcoli da effettuare per primi: si tratta di calcolare prima le potenze, poi i prodotti ei quozienti ed infine le addizioni e le sottrazioni. Le parentesi possono essere sostituite da indicazioni di posizione come per le frazioni o per gli esponenti, o barre come per le radici .
Quindi per convenzione la voce di partenza,
a + bc - d + enon presenta più alcuna ambiguità con queste nuove convenzioni e può valere solo il risultato della seguente somma:
a + (bc) + (−d) + ee un'espressione come
può essere letto solo sotto la seguente somma
Quando il calcolo da eseguire non rispetta questo ordine di esecuzione, le parentesi sono poi lì per indicare le priorità non convenzionali. Quindi, l'espressione
a + b.c + dessere interpretato come
a + (bc) + d ,il prodotto di due somme deve includere parentesi
(a + b). (c + d)I primi scritti di formule matematiche erano retorici, vale a dire sotto forma di frase. Il modello di riferimento è il testo matematico euclideo, istituito negli elementi di Euclide nel 300 a.C. AD In questo, l'ordine delle operazioni è esplicito. Non c'è confusione tra le seguenti due frasi:
né alcuna ambiguità nella frase
Ma durante l'attuazione di calcolo simbolico alla fine del XVI ° secolo e per tutto il XVII ° secolo , allora il problema di scrivere espressioni matematiche complesse. I due testi precedenti possono essere entrambi tradotti dalla stessa notazione simbolica
a + bce il terzo testo scritto come
√ un + bpotrebbe anche essere tradotto come "prendi la radice quadrata di a e aggiungi b ad essa".
La ricerca si è quindi focalizzata sullo studio dei delimitatori. Questi avevano lo scopo di chiarire quali erano le operazioni principali e secondarie e come i termini dovevano essere raggruppati. Questi delimitatori erano di diversi tipi. I principali sono
Quindi un'espressione che si legge al giorno d'oggi
(a + b) .c ,ha scritto
a + b..ce troviamo in Cartesio espressioni come
.3 + 2 .attualmente significato
Questi delimitatori o segni di aggregazione sono stati particolarmente studiati da Leibniz che li chiama segni di comprensioni .
Altri mezzi per aggregare più contenuti consistevano nel posizionarli su linee diverse. Troviamo questa abitudine in particolare nella scrittura spaziale delle frazioni dove il posizionamento rispetto alla linea di scrittura funge da delimitatore confermato dalla barra della frazione, una sorta di vinculum. Così l'espressione che Cartesio scrive nella forma
sarà tradotto da Leibniz, favorevole alla scrittura lineare,
((a + (b: c)) :( e + (f: g))A questo proposito, si può rilevare l'importanza della posizione spaziale per la lettura delle priorità in un'espressione come
che va letto
mentre
deve essere letto
Cartesio usa largamente la notazione spaziale per raggruppare, ad esempio, termini all'interno di un prodotto, così possiamo leggere in lui espressioni come
,Il caso particolare dell'elevamento a potenza va menzionato per il suo ruolo posizionale non simmetrico: in uno scritto come
3a b + 2 ,la posizione di b + 2 sulla linea di elevazione a potenza è valida come segno di aggregazione e l'espressione non può essere confusa con
3a b +2 .D'altra parte, il fatto che 3 e a siano entrambi posti sulla retta di calcolo non ne consente l'aggregazione e, implicitamente, dalle prime elevazioni a potenza, in Cartesio, interessa solo il primo termine a sinistra della potenza.
In qualsiasi teoria, qualsiasi espressione matematica complessa dovrebbe contenere tanti delimitatori quanti sono necessari per rimuovere qualsiasi ambiguità. Quindi una scritta like
3a 2b + 5dovrebbe essere scritto
scrittura che, certo, non presenta altra interpretazione, ma non brilla per la chiarezza della sua lettura.
La soppressione di certi delimitatori, come nell'esempio dell'elevamento a potenza menzionato in precedenza, appare naturalmente nei primi autori come Cartesio o Leibniz. Così nella risoluzione dell'equazione quadratica che Cartesio scrive
e di cui propone come soluzione
,questo omette deliberatamente i delimitatori
e
senza mai indicare le regole di priorità che regolano questo tipo di calcolo.
Probabilmente dobbiamo vedere in questa assenza di delimitazione un'interpretazione sulla natura degli oggetti trattati. Questa interpretazione in termini di unità si trova già nei testi retorici. Quando scrivono i traduttori di Euclide , a proposito della divisione tra ragione media ed estrema
"Se si taglia una linea tra ragione estrema e ragione media, il quadrato del segmento più grande sommato alla metà dell'intero è pari a cinque volte il quadrato della metà"
- Gli elementi, Libro XIII, proposizione 1.
per loro non c'è ambiguità. Il matematico moderno, cercando di scrivere tale espressione in forma algebrica e chiamando x il segmento più grande e L la linea, si troverebbe di fronte a due interpretazioni per questo testo:
Per Euclide ei suoi lettori, invece, non c'è ambiguità, la prima interpretazione non ha significato ai loro occhi. Poiché il quadrato del segmento più grande è un'area e metà dell'intero è una lunghezza, non ha senso aggiungere un'area e una lunghezza e solo la seconda interpretazione è corretta.
Allo stesso modo, quando Cartesio scrive
,il membro di sinistra rimane per lui un'area e qualsiasi altra aggregazione del secondo membro rispetto a quella attualmente accettata non potrebbe portare a un'area. Infine il 1/2 davanti a è visto più come una frazione che come una moltiplicazione, prendiamo metà di a. Allo stesso modo, non c'è modo di aggregare in modo diverso
senza che l'espressione perda la sua qualità di area.
Descartes, quindi, ei suoi successori, stabilirono implicitamente le regole di priorità operativa attualmente utilizzate. L'uso delle parentesi interviene solo per derogare a queste priorità o per rimuovere un'ambiguità sul contenuto.
La convenzione che avrebbe privilegiato l'ordine di scrittura, cioè che sarebbe consistita nell'eseguire le operazioni nel loro ordine di apparizione, da sinistra a destra, salvo un controordine indicato da delimitatori, avrebbe espressioni inutilmente cariche come . Avrebbe, inoltre, installato un ordine di priorità (ciò che è a sinistra è più agglomerato di ciò che accade a destra) che sarebbe entrato in conflitto con le proprietà di commutatività (ciò che è a sinistra può passare a destra)
Altre priorità hanno cercato di emergere come la notazione polacca inversa inizio XX ° secolo, ma non è sopravvissuto tre convenzioni secoli e pubblicazioni.
In informatica , il concetto di priorità delle operazioni è chiamato in inglese precedenza dell'operatore .
Riguarda anche gli operatori logici : quindi la “e” (logica) ha la priorità sulla “o” (logica).
Alcuni linguaggi informatici come il linguaggio C hanno solo operatori la cui funzione e priorità sono predefinite. Altri linguaggi come Haskell e Perl 6 consentono al programmatore di definire nuovi operatori di cui deve anche specificare la priorità.
(it) " Ordine delle operazioni " , su PlanetMath