Polinomio di Legendre associato
In matematica , un polinomio di Legendre associato , notato è una soluzione particolare dell'equazione generale di Legendre:
Pℓm(X){\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x)}
(1-X2)y″-2Xy′+(ℓ(ℓ+1)-m21-X2)y=0,{\ displaystyle (1-x ^ {2}) \, y '' - 2xy '+ \ left (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2 }}} \ right) \, y = 0, \,}che ha una soluzione regolare solo sull'intervallo [-1,1] e se , con e m interi. Si riduce all'equazione differenziale di Legendre se m = 0.
-ℓ≤m≤+ℓ{\ displaystyle - \ ell \ leq m \ leq + \ ell}ℓ{\ displaystyle \ ell}
Questa funzione è un polinomio se m è ancora intero . Tuttavia, il nome "polinomio", sebbene errato, viene comunque mantenuto nel caso in cui m sia un numero intero dispari .
L'equazione generale di Legendre si incontra in particolare in fisica , ad esempio nella risoluzione dell'equazione di Helmholtz in coordinate sferiche . In particolare, i polinomi di Legendre associati giocano un ruolo importante nella definizione delle armoniche sferiche .
Definizioni ed espressioni generali
L'equazione generale di Legendre in fisica
L'equazione generale di Legendre appare naturalmente nella risoluzione dell'equazione tridimensionale di Helmholtz in coordinate sferiche (indicata , con , con costante, utilizzando il metodo della separazione delle variabili . Più precisamente, corrisponde alla parte angolare secondo la colatitudine di questa equazione e corrispondente alle costanti di separazione.
Δ2f+K2f=0{\ displaystyle \ Delta ^ {2} f + k ^ {2} f = 0}(r,θ,ϕ){\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}f=f(r→)=f(r,θ,ϕ){\ Displaystyle f = f ({\ vec {r}}) = f (r, \ theta, \ phi)}K2{\ displaystyle k ^ {2}}θ{\ displaystyle \ theta}ℓ(ℓ+1){\ displaystyle \ ell (\ ell +1)}m2{\ displaystyle m ^ {2}}
Infatti in questo caso l'equazione angolare corrispondente è nella forma:
1peccatoθddθ(peccatoθdΘdθ)+(ℓ(ℓ+1)-m2peccato2θ)Θ(θ)=0{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ destra) + \ sinistra (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ destra) \ Theta (\ theta) = 0}
Dimostrazione
In coordinate sferiche l'equazione di Helmholtz è scritta:
1r2peccatoθ[peccatoθ∂∂r(r2∂f∂r)+∂∂θ(peccatoθ∂f∂θ)+1peccatoθ∂2f∂ϕ2]+K2f=0,{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} \ left [\ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} { \ frac {\ partial f} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial f} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ phi ^ {2}}} \ right] + k ^ { 2} f = 0,}se ora si cerca una soluzione separando le variabili, allora , cosa dopo la sostituzione e la divisione per :
f(r,θ,ϕ)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ){\ Displaystyle f (r, \ theta, \ phi) = R (r) \ Theta (\ theta) \ Phi (\ phi)}R(r)Θ(θ)Φ(ϕ){\ displaystyle R (r) \ Theta (\ theta) \ Phi (\ phi)}
1R(r)r2ddr(r2dRdr)+1Θ(θ)r2peccatoθddθ(peccatoθdΘdθ)+1Φ(ϕ)r2peccato2θd2Φdϕ2=-K2.{\ displaystyle {\ frac {1} {R (r) r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ destra) + {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ sinistra (\ sin \ theta {\ frac { d \ Theta} {d \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ Phi (\ phi) r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {d ^ {2 } \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - k ^ {2}.}Poiché questa equazione deve essere vera per tutti i valori di , ed è una costante, ciascuno dei primi tre termini deve essere uguale a una costante. Quindi se chiediamo:
(r,θ,ϕ){\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}K2{\ displaystyle k ^ {2}}
1Φ(ϕ)d2Φdϕ2=-m2,{\ displaystyle {\ frac {1} {\ Phi (\ phi)}} {\ frac {d ^ {2} \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - m ^ {2},}l'equazione viene riorganizzata nella forma:
1R(r)ddr(r2dRdr)+K2r2=-1Θ(θ)peccatoθddθ(peccatoθdΘdθ)+m2peccato2θ.{\ displaystyle {\ frac {1} {R (r)}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {dR} {dr}} \ right) + k ^ {2} r ^ {2} = - {\ frac {1} {\ Theta (\ theta) \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ right) + {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}}.}Essendo questa equazione sotto forma di variabili separate, ogni membro deve essere uguale alla stessa costante annotata , e la parte angolare secondo è quindi posta nella forma:
ℓ(ℓ+1){\ displaystyle \ ell (\ ell +1)}Θ(θ){\ displaystyle \ Theta (\ theta)}
1peccatoθddθ(peccatoθdΘdθ)+(ℓ(ℓ+1)-m2peccato2θ)Θ(θ)=0.{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {d \ Theta} {d \ theta}} \ destra) + \ sinistra (\ ell (\ ell +1) - {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ destra) \ Theta (\ theta) = 0.}L'equazione radiale corrisponde all'equazione differenziale delle funzioni sferiche di Bessel .
Il cambio di variabile rende quindi possibile mettere questa equazione nella forma dell'equazione generale di Legendre.
X=cosθ{\ displaystyle x = \ cos \ theta}
Espressione in funzione dei polinomi di Legendre
I polinomi di Legendre associati sono dedotti dai polinomi di Legendre dalla formula:
Pℓ(X){\ displaystyle P _ {\ ell} (x)}
Pℓm(X)=(-1)m (1-X2)m/2 dmdXm(Pℓ(X)).{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x) = (- 1) ^ {m} \ (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} \ {\ frac {d ^ {m }} {dx ^ {m}}} \ sinistra (P _ {\ ell} (x) \ destra).}.
Assumendo 0 ≤ m ≤ ℓ, con m , ℓ interi, i polinomi soddisfano la seguente condizione di ortogonalità per m fisso:
∫-11PKmPℓmdX=2(ℓ+m)!(2ℓ+1)(ℓ-m)! δK,ℓ,{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {k} ^ {m} P _ {\ ell} ^ {m} dx = {\ frac {2 (\ ell + m)!} {(2 \ ell +1) (\ ell -m)!}} \ \ delta _ {k, \ ell},}dov'è il simbolo Kronecker .
δK,ℓ{\ displaystyle \ delta _ {k, \ ell}}
Seguono anche la seguente condizione di ortogonalità a ℓ fisso:
∫-11Pℓm(X)Pℓnon(X)1-X2dX={0Se m≠non(ℓ+m)!m(ℓ-m)!Se m=non≠0∞Se m=non=0.{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {P _ {\ ell} ^ {m} (x) P _ {\ ell} ^ {n} (x)} {1-x ^ {2}}} dx = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {si}} m \ neq n \\ {\ frac {(\ ell + m)!} {M (\ ell -m)!} } & {\ mbox {si}} m = n \ neq 0 \\\ infty & {\ mbox {si}} m = n = 0 \ end {cases}}.}
Collegamento con armoniche sferiche
Le armoniche sferiche intervengono in particolare nella fisica quantistica , dove corrispondono alle autofunzioni del momento angolare orbitale , cioè quelle comuni agli operatori (quadrato del momento angolare) e della sua componente , con le equazioni degli autovalori:
Yℓ,m(θ,ϕ){\ displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi)}L^2{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}L^z{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}
L^2Yℓ,m(θ,ϕ)=ℏ2ℓ(ℓ+1)Yℓ,m(θ,ϕ),{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar ^ {2} \ ell (\ ell +1) Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}e
L^zYℓ,m(θ,ϕ)=ℏmYℓ,m(θ,ϕ),{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi) = \ hbar mY _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi),}.
In coordinate sferiche questi operatori sono posti nella forma:
L^z=-ioℏ∂∂ϕ,{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}},}
L^2=-ℏ2(1peccatoθ∂∂θ[peccatoθ∂∂θ]+1peccato2θ∂2∂ϕ2).{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2} = - \ hbar ^ {2} \ left ({\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta }} \ left [\ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ right] + {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ phi ^ {2}}} \ right).}
Di conseguenza, corrisponde alla parte angolare del laplaciano, e infatti le equazioni agli autovalori sono identiche a quelle ottenute risolvendo l'equazione di Helmholtz. Pertanto le armoniche sferiche sono proporzionali a e , e dopo la normalizzazione assumono la forma:
L^2{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}Yℓ,m(θ,ϕ){\ displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi)}Pℓm(cosθ){\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos \ theta)}eiomϕ{\ displaystyle e ^ {\ imath m \ phi}}
Yℓm(θ,ϕ)=(-1)m(2ℓ+1)4π(ℓ-m)!(ℓ+m)!Pℓm(cosθ)eiomϕ.{\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ phi) = (- 1) ^ {m} {\ sqrt {{{(2 \ ell +1) \ over 4 \ pi} {( \ ell -m)! \ over (\ ell + m)!}}} \, P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos {\ theta}) \, e ^ {im \ phi}.}
Tabelle dei primi polinomi associati di Legendre
I primi polinomi associati di Legendre sono:
Pℓm(X){\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {m} (x)}
ℓ{\ displaystyle \ ell}
|
m{\ displaystyle m}
|
---|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
0
|
1
|
nd
|
nd
|
nd
|
nd
|
1
|
X{\ displaystyle x}
|
-(1-X2)1/2{\ displaystyle - (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}
|
nd
|
nd
|
nd
|
2
|
12(3X2-1){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (3x ^ {2} -1)}
|
-3X(1-X2)1/2{\ displaystyle -3x (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}
|
3(1-X2){\ displaystyle 3 (1-x ^ {2})}
|
nd
|
nd
|
3
|
12(5X3-3X){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (5x ^ {3} -3x)}
|
-32(5X2-1)(1-X2)1/2{\ displaystyle - {\ begin {matrix} {\ frac {3} {2}} \ end {matrix}} (5x ^ {2} -1) (1-x ^ {2}) ^ {1/2} }
|
15X(1-X2){\ displaystyle 15x (1-x ^ {2})}
|
-15(1-X2)3/2{\ displaystyle -15 (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}
|
nd
|
4
|
18(35X4-30X2+3){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {8}} \ end {matrix}} (35x ^ {4} -30x ^ {2} +3)}
|
-52(7X3-3X)(1-X2)1/2{\ displaystyle - {\ begin {matrix} {\ frac {5} {2}} \ end {matrix}} (7x ^ {3} -3x) (1-x ^ {2}) ^ {1/2} }
|
152(7X2-1)(1-X2){\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {15} {2}} \ end {matrix}} (7x ^ {2} -1) (1-x ^ {2})}
|
-105X(1-X2)3/2{\ displaystyle -105x (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}
|
105(1-X2)2{\ displaystyle 105 (1-x ^ {2}) ^ {2}}
|
Per valori negativi di m è sufficiente utilizzare la relazione:
Pℓ-m=(-1)m(ℓ-m)!(ℓ+m)!Pℓm,{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {- m} = (- 1) ^ {m} {\ frac {(\ ell -m)!} {(\ ell + m)!}} P _ {\ ell } ^ {m},}che può essere dedotto direttamente dalla formula sopra riportata.
Note e riferimenti
Appunti
-
Questa equazione implica che abbiamo una qualche forma , ma poiché necessariamente non deve avere valore nell'intervallo, m deve essere un numero intero relativo .Φ(ϕ){\ displaystyle \ Phi (\ phi)}Φ(ϕ)=VSexp(iomϕ), con VS∈VS{\ displaystyle \ Phi (\ phi) = C \ exp (\ imath m \ phi), {\ text {con}} C \ in \ mathbb {C}}ϕ(ϕ){\ displaystyle \ phi (\ phi)}[0,2π[{\ displaystyle [0.2 \ pi [}
-
Il fattore è infatti un fattore di fase, detto di Condon-Shortley, omesso da alcuni autori(-1)m{\ displaystyle (-1) ^ {m}}
-
In coordinate sferiche è quindi facile verificare che il laplaciano assume la forma . Questa proprietà è utilizzata in particolare nello studio quantistico dell'atomo di idrogeno : il laplaciano che interviene nel termine di energia cinetica e il potenziale essendo invariante per simmetria sferica, l'Hamiltoniano del sistema commuta quindi con e . L' equazione di Schrödinger per l'elettrone può quindi essere risolta separando le variabili e la soluzione è data come il prodotto di una funzione radiale e un'armonica sferica .Δ=1r2∂∂r(r2∂f∂r)-L^2ℏ2r2{\ displaystyle \ Delta = {\ tfrac {1} {r ^ {2}}} {\ tfrac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ tfrac {\ partial f} { \ partial r}} \ right) - {\ tfrac {{\ hat {L}} ^ {2}} {\ hbar ^ {2} r ^ {2}}}}L^2{\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}L^z{\ displaystyle {\ hat {L}} _ {z}}Yℓ,m(θ,ϕ){\ displaystyle Y _ {\ ell, m} (\ theta, \ phi)}
Riferimenti
-
Vedi in particolare Arfken, Mathematical Methods for Physicists , Seventh Edition, ( ISBN 978-0-12-384654-9 ) .
Vedi anche
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