polinomio di Zernike

I polinomi di Zernike sono un insieme di polinomi ortogonali definiti sull'unità di azionamento . Portano il nome di Frits Zernike ; svolgono un ruolo importante nell'imaging .

Definizione di polinomi

I polinomi di Zernike possono essere scomposti in funzioni pari e dispari. Anche le funzioni sono:

{\ displaystyle Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi) = R_ {n} ^ {m} (\ rho) \, \ cos (m \, \ varphi) \!}

e le funzioni dispari sono:

{\ displaystyle Z_ {n} ^ {- m} (\ rho, \ varphi) = R_ {n} ^ {m} (\ rho) \, \ sin (m \, \ varphi), \!}

dove $m$ ed $n$ sono numeri interi non zero naturali, con $n \geq m$ , $φ$ è l' azimuth dell'angolo espresso in radianti , e $ρ$ è la normalizzata distanza radiale . I polinomi radiali $R m n$ sono definiti come:

{\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ tfrac {nm} {2}} {\ frac {(-1) ^ {k} \, ( nk)!} {k! \ sinistra ({\ tfrac {n + m} {2}} - k \ destra)! \ sinistra ({\ tfrac {nm} {2}} - k \ destra)!}} \ ;\rho ^ {n-2k}}

{\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho) = {\ frac {\ Gamma (n + 1) {} _ {2} F_ {1} (- {\ frac {1} {2}} ( | m | + n), {\ frac {1} {2}} (| m | -n); - n; \ rho ^ {- 2})} {\ Gamma ({\ frac {1} {2} } (2 + n + m)) \ Gamma ({\ frac {1} {2}} (2 + nm))}} \ rho ^ {n}}

per n - m pari, e sono uguali a 0 per n - m dispari.

Per m = 0, il polinomio si riduce a $R 0 n ( ρ )$ .

Interpretazione delle immagini

Se consideriamo un'onda luminosa che ha attraversato un sistema imperfetto, il fronte d'onda all'uscita del sistema non è completamente piatto: definiamo la funzione di sfasamento $Φ$ che ad ogni punto di un piano frontale associa lo sfasamento tra la luce teorica onda nel modello dell'ottica geometrica e l'onda di luce reale tenendo conto dei difetti, e che sarebbe uguale alla funzione nulla se il sistema fosse perfetto.

È quindi possibile approssimare questa cosiddetta fase aberrante come una combinazione lineare di polinomi di Zernike, ciascuno dei polinomi della base considerato corrispondente ad una diversa categoria di aberrazione.

Così, in ottica adattativa , è possibile utilizzare un analizzatore di fronte d'onda accoppiato ad un sistema di computer in grado di calcolare $Φ$ e la sua scomposizione in polinomi di Zernike in tempo reale al fine di conoscere in ogni momento la natura delle aberrazioni del sistema. Studiato e eventualmente correggerli utilizzando uno specchio deformante (sistema ad anello chiuso).

Casi speciali

Polinomi radiali

I primi polinomi radiali sono (con l'aberrazione geometrica associata):

{\ displaystyle R_ {0} ^ {0} (\ rho) = 1}

: pistone, corrispondente ad un'immagine perfetta;

{\ displaystyle R_ {1} ^ {1} (\ rho) = \ rho}

: tilt sull'asse x ( tilt X ) o sull'asse y ( tilt Y );

{\ displaystyle R_ {2} ^ {0} (\ rho) = 2 \ rho ^ {2} -1}

: messa a fuoco o errore di messa a fuoco ;

{\ displaystyle R_ {2} ^ {2} (\ rho) = \ rho ^ {2}}

: astigmatismo a 0 (su X) o

π / 2

(su Y) radianti;

{\ displaystyle R_ {3} ^ {1} (\ rho) = 3 \ rho ^ {3} -2 \ rho}

: aberrazione del coma ;

{\ displaystyle R_ {3} ^ {3} (\ rho) = \ rho ^ {3}}

;

{\ displaystyle R_ {4} ^ {0} (\ rho) = 6 \ rho ^ {4} -6 \ rho ^ {2} +1}

: aberrazione di sfericità ;

{\ displaystyle R_ {4} ^ {2} (\ rho) = 4 \ rho ^ {4} -3 \ rho ^ {2}}

;

{\ displaystyle R_ {4} ^ {4} (\ rho) = \ rho ^ {4}}

;

{\ displaystyle R_ {5} ^ {1} (\ rho) = 10 \ rho ^ {5} -12 \ rho ^ {3} +3 \ rho}

;

{\ displaystyle R_ {5} ^ {3} (\ rho) = 5 \ rho ^ {5} -4 \ rho ^ {3}}

;

{\ displaystyle R_ {5} ^ {5} (\ rho) = \ rho ^ {5}}

;

{\ displaystyle R_ {6} ^ {0} (\ rho) = 20 \ rho ^ {6} -30 \ rho ^ {4} +12 \ rho ^ {2} -1}

;

{\ displaystyle R_ {6} ^ {2} (\ rho) = 15 \ rho ^ {6} -20 \ rho ^ {4} +6 \ rho ^ {2}}

;

{\ displaystyle R_ {6} ^ {4} (\ rho) = 6 \ rho ^ {6} -5 \ rho ^ {4}}

;

{\ displaystyle R_ {6} ^ {6} (\ rho) = \ rho ^ {6}}

Polinomi di Zernike

Di seguito sono riportate le prime modalità Zernike, con i semplici indici OSA/ANSI e Noll . Sono standardizzati in modo che: . ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {1} Z ^ {2} \ cdot \ rho \, d \ rho \, d \ phi = \ pi}$

$Z_ {n} ^ {m}$	Indice OSA/ANSI ( ) $j$	Indice zero ( ) $j$	Indice di Wyant ( ) $j$	Frange / Indice UA ( ) $j$	Grado radiale ( ) $non$	Grado azimutale ( ) $m$	${\ displaystyle Z_ {j}}$	Nome classico
${\ stile di visualizzazione Z_ {0} ^ {0}}$	00	01	00	01	0	00	$1$	Pistone (vedi, Legge del semicerchio )
${\ displaystyle Z_ {1} ^ {- 1}}$	01	03	02	03	1	−1	${\ displaystyle 2 \ rho \ sin \ phi}$	Inclinazione ( inclinazione a Y, inclinazione verticale)
${\ stile di visualizzazione Z_ {1} ^ {1}}$	02	02	01	02	1	+1	${\ displaystyle 2 \ rho \ cos \ phi}$	Punta (inclinazione X, inclinazione orizzontale)
${\ displaystyle Z_ {2} ^ {- 2}}$	03	05	05	06	2	-2	${\ displaystyle {\ sqrt {6}} \ rho ^ {2} \ sin 2 \ phi}$	Astigmatismo obliquo
${\ stile di visualizzazione Z_ {2} ^ {0}}$	04	04	03	04	2	00	${\ displaystyle {\ sqrt {3}} (2 \ rho ^ {2} -1)}$	Sfocatura (posizione longitudinale)
${\ displaystyle Z_ {2} ^ {2}}$	05	06	04	05	2	+2	${\ displaystyle {\ sqrt {6}} \ rho ^ {2} \ cos 2 \ phi}$	Astigmatismo verticale
${\ displaystyle Z_ {3} ^ {- 3}}$	06	09	10	11	3	-3	${\ displaystyle {\ sqrt {8}} \ rho ^ {3} \ sin 3 \ phi}$	Trifoglio verticale
${\ displaystyle Z_ {3} ^ {- 1}}$	07	07	07	08	3	−1	${\ displaystyle {\ sqrt {8}} (3 \ rho ^ {3} -2 \ rho) \ sin \ phi}$	coma verticale
${\ displaystyle Z_ {3} ^ {1}}$	08	08	06	07	3	+1	${\ displaystyle {\ sqrt {8}} (3 \ rho ^ {3} -2 \ rho) \ cos \ phi}$	coma orizzontale
${\ displaystyle Z_ {3} ^ {3}}$	09	10	09	10	3	+3	${\ displaystyle {\ sqrt {8}} \ rho ^ {3} \ cos 3 \ phi}$	Trifoglio obliquo
${\ displaystyle Z_ {4} ^ {- 4}}$	10	15	17	18	4	−4	${\ displaystyle {\ sqrt {10}} \ rho ^ {4} \ sin 4 \ phi}$	Quadrifoglio obliquo
${\ displaystyle Z_ {4} ^ {- 2}}$	11	13	12	13	4	-2	${\ displaystyle {\ sqrt {10}} (4 \ rho ^ {4} -3 \ rho ^ {2}) \ sin 2 \ phi}$	Astigmatismo obliquo secondario
${\ displaystyle Z_ {4} ^ {0}}$	12	11	08	09	4	00	${\ displaystyle {\ sqrt {5}} (6 \ rho ^ {4} -6 \ rho ^ {2} +1)}$	Aberrazione di sfericità
${\ displaystyle Z_ {4} ^ {2}}$	13	12	11	12	4	+2	${\ displaystyle {\ sqrt {10}} (4 \ rho ^ {4} -3 \ rho ^ {2}) \ cos 2 \ phi}$	Astigmatismo verticale secondario
${\ displaystyle Z_ {4} ^ {4}}$	14	14	16	17	4	+4	${\ displaystyle {\ sqrt {10}} \ rho ^ {4} \ cos 4 \ phi}$	Quadrifoglio verticale

Applicazione al design ottico

I polinomi di Zernike sono utilizzati in particolare negli aberrometri, per misurare le aberrazioni ottiche dell'occhio umano (incluso, tra l'altro, l'astigmatismo).

Note e riferimenti

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Appendici

Bibliografia

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link esterno

(it) Il sito web esteso di Nijboer-Zernike.
(it) “ Espansioni incrociate in termini di potenze e Polinomi di Jacobi. » ( Archivio • Wikiwix • Archive.is • Google • Cosa fare? ) (Accesso al 12 settembre 2018 )