Parabola della sicurezza

In fisica e balistica , il termine “ parabola di sicurezza” indica la curva di inviluppo di tutte le possibili traiettorie paraboliche di un corpo lanciato da un dato punto con una data velocità in un piano verticale di azimut fisso. Nessun punto al di fuori di questa curva può essere raggiunto da un proiettile avente questa velocità iniziale: la zona è "sicura", da cui il nome della curva.

In coordinate cartesiane, questa parabola è descritta dall'equazione:

$z = h - {\ frac {x ^ {2}} {4h}}$

dove indica l'altitudine massima che può essere raggiunta. $h = {\ tfrac {V_ {0} ^ {2}} {2g}}$

Equazioni

Si consideri una palla B, lanciata a una velocità iniziale dal punto O, che cade nel vuoto, in un campo di gravità uniforme . La sua traiettoria, nel piano verticale , è parabolica : $V_ {0}$ $g$ $(O, V_ {0}, g)$

\ overrightarrow {{\ rm {OB}}} = {\ frac {1} {2}} t ^ {2} {\ vec {g}} + t {\ vec {V_ {0}}}

E l'equazione cartesiana di questa parabola è:

$z (x) = - {\ frac {x ^ {2}} {4h}} \ left (1+ \ tan ^ {2} (A) \ right) + x \ tan (A)$

annotando l'angolo di tiro (angolo tra il vettore e l'orizzontale) e l'altitudine massima raggiunta durante un tiro verticale. $A$ $V_ {0}$ $h = {\ tfrac {V_ {0} ^ {2}} {2g}}$

Per arrivare al punto , l'artigliere dovrà scegliere l' alzata del cannone, ovvero , come ad esempio: $M (x_ {0}, z_ {0})$ $A$ $\ tan (A)$

z_ {0} = - {\ frac {x_ {0} ^ {2}} {4h}} \ left (1+ \ tan ^ {2} (A) \ right) + x_ {0} \ tan (A)

Essendo questa equazione di secondo grado in , risulta quindi che vi siano due soluzioni, doppia o nessuna soluzione, a seconda che il discriminante sia positivo, nullo o negativo. Nel caso limite, si dice che il punto si trova sulla curva di sicurezza (C). Abbiamo $\ tan (A)$ $\Delta$ $M$

\ Delta = 0 = x_ {0} ^ {2} -4 \ sinistra (z_ {0} + {\ frac {x_ {0} ^ {2}} {4h}} \ destra) {\ frac {x_ {0 } ^ {2}} {4h}}

che è semplificato e dà l'equazione di una cosiddetta parabola di sicurezza:

$z_ {0} = h - {\ frac {x_ {0} ^ {2}} {4h}}$

Otteniamo quando , distanza chiamata massima portata orizzontale. $z_ {0} = 0$ $x_ {0} = 2h$

Possiamo mostrare che la traiettoria di caduta tocca tangenzialmente la curva (C) in un punto C, noto come Torricelli, tale che (OC) è la corda focale della traiettoria parabolica . Questo fatto fu notato da Torricelli nel 1640 e gli ha permesso di determinare geometricamente la natura dell'involucro.

Vantaggio della cittadella

Un vantaggio della cittadella è che i suoi cannoni si trovano ad un'altitudine $a = OA$ sopra la pianura. Le palline potranno raggiungere un punto $P$ tale che $x = OP> 2 h$ . Più precisamente, $x$ è tale che , sia $x$ $= 2$ $\sqrt$ $h$ $($ $h$ $+$ $a$ $)$ . Per il teorema di Pitagora, $AP = 2$ $h$ $+$ $a$ : la distanza tra la cittadella $A$ e il punto $P$ di massima portata è quindi la somma dell'altitudine $a$ con la portata massima di $2$ $h$ quando il tiro è effettuato con quota zero. Questo risultato spesso sorprende per la sua semplicità. Allo stesso modo, gli aggressori dovranno avvicinarsi (basta cambiare $a$ in $-$ $a$ ). $z = -a = h - {\ tfrac {x ^ {2}} {4h}}$

Esempio: per $h = 100 m$ , la portata dei cannoni è di 200 m. Una cittadella situata ad un'altitudine di $a = 50 m$ avrà una portata $AP = 250 m$ . Al contrario, gli aggressori dovranno avvicinarsi a 150 m per poter raggiungere la cittadella.
Vantaggio dell'avamposto: o un avamposto di altezza $O'A '= a'$ rispetto alla cittadella e situato a una distanza $OO '= b$ dalla cittadella. Lo stesso tipo di ragionamento porta a questa semplice osservazione: l'altezza effettiva è quindi $a ' + b + a$ .

Note e riferimenti

Ruotando attorno alla verticale si ottiene un paraboloide di rivoluzione che avvolge tutte le possibili traiettorie paraboliche da un dato punto con una data velocità.
E l'angolo di fuoco è . ${\ frac {\ pi} {4}} - {\ tfrac {1} {2}} \ arcsin {\ tfrac {a} {a + 2h}}$

Parabola della sicurezza

Equazioni

Vantaggio della cittadella

Note e riferimenti

Articoli Correlati