Modelli di regressione multipla postulati e non postulati
Modello
Un modello mette in relazione una o più variabili da spiegare Y a variabili esplicative X, mediante una relazione funzionale Y = F (X)
- Un modello fisico è un modello esplicativo supportato da una teoria.
- Un modello statistico, al contrario, è un modello empirico derivante dai dati disponibili, senza la conoscenza a priori dei meccanismi coinvolti, ma in esso possono essere integrate equazioni fisiche (durante la pre-elaborazione dei dati).
Regressione multipla
È il più utilizzato dei modelli statistici.
Abbiamo n osservazioni ( i = 1,…, n ) di p variabili. Viene scritta l'equazione di regressione
o
- ε i è l'errore del modello;
- a 0 , a 1 ,…, a p sono i coefficienti del modello da stimare.
Il calcolo dei coefficienti a j e dell'errore del modello, dalle osservazioni, è un problema ben compreso (vedi Regressione lineare multipla ).
Più delicata è la scelta delle variabili che entrano nel modello. Può essere applicato o meno.
Modello postulato
Nel modello precedente, solo i coefficienti sono “guidati dai dati”, la struttura polinomiale del modello è imposta dall'utente (secondo la sua competenza del problema), che postula a priori:
- il tipo di modello: lineare o polinomiale e il grado del polinomio,
- le variabili che entreranno nel modello.
Esempio di un modello polinomiale con due variabili esplicative:
Il problema della selezione delle variabili esplicative
Quando il numero di variabili esplicative è elevato, può accadere che alcune variabili siano correlate tra loro. In questo caso è necessario eliminare i duplicati. A tale scopo, il software utilizza metodi di selezione graduali (ascendente, discendente o misto).
Resta il fatto che la qualità del modello finale dipende in gran parte dalla scelta delle variabili e dal grado del polinomio.
Modello non postulato
Al contrario, il modello “non postulato” è interamente “ data driven ”, sia la sua struttura matematica che i suoi coefficienti.
La selezione delle variabili esplicative non richiede la conoscenza a priori del modello: avviene tra un insieme molto ampio di variabili, tra cui:
- le variabili semplici : A, B, C ... (proposte da esperti del settore in cui il numero p può essere maggiore di n );
- " Interazioni " o "accoppiamento" di queste variabili, ad esempio "A * B" (prodotto incrociato su variabili ridotte centrate), ma anche " interazioni logiche " come "A e B", "A o B", "A e B nella media "," A se B è forte "," A se B è nella media "," A se B è debole ", ecc. ;
- le funzioni di queste variabili : ad esempio, cos (A) o qualsiasi funzione seno smorzata o funzione periodica amplificata, non sinusoidale, effetto soglia, ecc.
La selezione viene effettuata prima del calcolo dei coefficienti di regressione secondo il seguente principio:
L'elenco trovato, ordinato in ordine decrescente di importanza , non può contenere più termini di incognite ( n ). Se nel modello viene mantenuto un solo termine, dovrebbe essere il primo nell'elenco. Se vengono conservati solo due, saranno i primi due, ecc.
Infatti, poiché ciascuno dei termini nell'elenco "spiega" il residuo non spiegato dai precedenti, questi ultimi forse spiegano solo "rumore". Quale criterio di arresto scegliere?
Il numero di termini conservati nel modello può essere, ad esempio, quello che riduce al minimo l' errore standard di previsione SEP (errore standard di previsione) o quello che massimizza la F. di Fisher . Questo numero di termini può anche essere scelto dall'utente in base a considerazioni fisiche.
Questo modello “ parsimonioso ”, cioè comprendente pochi termini (qui tre), coinvolge 5 variabili e si attaccherà meglio alla realtà fisica rispetto a un modello polinomiale. Infatti la congiunzione "E e G" che significa "E e G forti contemporaneamente" si incontra più spesso nella realtà fisica (esempio: catalisi in chimica) rispetto a un termine polinomiale di tipo EG
Decomposizione armonica
Un modello non postulato sarà anche efficiente nella decomposizione armonica della serie.
In effetti, il principio si applica anche nel caso di campionamento irregolare (dove i metodi del tipo a media mobile , ARIMA o Box e Jenkins sono difettosi) come nei casi non stazionari (dove non si applica l' analisi di Fourier ) . 'Non si applica) . Permette di rilevare e districare le interferenze di vari cicli e stagionalità con interruzioni di tendenza in "gradini", "V", "interruzioni logistiche", schemi periodici ed eventi accidentali come picchi isolati o "pezzi d'onda".
Esempi
Applicazione al marketing
I dati per questo esempio sono disponibili su Internet (vedi Colas Promo Price Effect [1] )
In un grande negozio di scatole, vengono presentati due prodotti per la vendita. Le gondole possono o non possono essere presenti, i prezzi possono variare, così come la presenza in negozio.
Ecco i modelli non postulati ottenuti per ciascuno dei due prodotti:
1SALE = 311,6 - 1386. Pri] 1Gondola Forward + 492,4 Freq e 2Price R2a = 0,849, Q2 = 0,841, F = 220,4, SEP = 86,28I termini di queste equazioni sono ordinati per importanza decrescente e la loro influenza positiva o negativa dipende dal segno dei coefficienti.
Quindi, tenendo conto del significato dei simboli delle interazioni logiche , deduciamo che:
- Le vendite del prodotto 1 diminuiscono all'aumentare del prezzo, se viene proposta la gondola. Aumentano con la frequentazione del negozio, se il prezzo del prodotto 2, concorrente, è alto.
- Le vendite del prodotto 2 diminuiscono quando il suo prezzo aumenta, aumentano quando la gondola viene lanciata. Aumentano anche con le visite in negozio, se il prezzo del prodotto concorrente 1 è alto.
Spesso è utile associare ai modelli un'analisi dei dati di tipo Iconografia delle correlazioni :
Da un lato, notiamo i legami positivi delle vendite del prodotto 1 con:
- presenza,
- l'evidenziazione della gondola di presentazione.
- il prezzo del prodotto 2, concorrente.
D'altra parte, i collegamenti negativi delle vendite del prodotto 1 con:
- il prezzo del prodotto 1
- la promozione del prodotto 2, concorrente.
Miglioramento della qualità industriale
I dati di Kackar (1985) qui usati sono serviti da illustrazione per varie tecniche di elaborazione dei dati. Vedi D. Collombier: Progettazione di esperimenti e miglioramento della qualità industriale. Un'alternativa al metodo Taguchi. RSA, tomo 40, n ° 2 (1992), p. 31-43. [2]
Vogliamo migliorare la flessione delle balestre utilizzate per la sospensione dei camion. I vetrini vengono riscaldati in forno, piegati in pressa, quindi raffreddati a bagno d'olio. Vogliamo ottenere una freccia di piegatura vicina a 8 pollici.
I fattori controllati della produzione, a due livelli (un valore basso e un valore alto), sono:
- T ° Forno = temperatura del forno (1840 e 1880 ° F)
- tRiscaldamento = tempo di riscaldamento (25 e 23 secondi)
- tTransferForPress = durata del trasferimento forno-pressa (10 e 12 secondi)
- tSubPress = tempo in pressione (2 e 3 secondi)
- T ° Raffreddamento = temperatura di raffreddamento . Difficile da controllare durante la produzione, può essere controllato solo durante i test. Viene considerato come una figura di rumore a due livelli (130-160 ° F e 150-170 ° F)
Il disegno sperimentale scelto, comprendente 8 prove (per i fattori di produzione), viene quindi ripetuto due volte, per ciascuna delle temperature di raffreddamento. Sono 16 test.
Inoltre, ciascuna delle prove viene ripetuta 3 volte per tenere conto delle sorgenti di rumore incontrollate. Vale a dire un totale di 48 test.
Le risposte dell'esperimento sono
- Ymoy = freccia media per la bassa temperatura di raffreddamento (media su 3 misurazioni)
- Ymoy = freccia media per la temperatura di raffreddamento elevata (media su 3 misurazioni)
- Rapporto segnale / rumore = calcolato da 6 misurazioni per test di produzione.
Nella tabella seguente, i livelli dei fattori di produzione sono indicati come -1 per debole e 1 per forte. Il livello di temperatura di raffreddamento è indicato come 1 per debole e 2 per forte.
| T ° Forno | tRiscaldamento | tTrasferimento FourPress | tSubPress | T ° di raffreddamento | Ymoy | Segnale / Rumore | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 7.79 | 5.426739 |
| 2 | -1 | -1 | -1 | -1 | 2 | 7.29 | 5.426739 |
| 3 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 8.07 | 11.6357 |
| 4 | 1 | -1 | -1 | 1 | 2 | 7.733 | 11.6357 |
| 5 | -1 | 1 | -1 | 1 | 1 | 7.52 | 6.360121 |
| 6 | -1 | 1 | -1 | 1 | 2 | 7.52 | 6.360121 |
| 7 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | 7.63 | 8.658226 |
| 8 | 1 | 1 | -1 | -1 | 2 | 7.647 | 8.658226 |
| 9 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 7.94 | 7.337677 |
| 10 | -1 | -1 | 1 | 1 | 2 | 7.4 | 7.337677 |
| 11 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | 7.947 | 10.44231 |
| 12 | 1 | -1 | 1 | -1 | 2 | 7.623 | 10.44231 |
| 13 | -1 | 1 | 1 | -1 | 1 | 7.54 | 3,700976 |
| 14 | -1 | 1 | 1 | -1 | 2 | 7.203 | 3,700976 |
| 15 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 7.687 | 8,860563 |
| 16 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 7.633 | 8,860563 |
Ecco i modelli non postulati ottenuti per la freccia Ymoy e per il rapporto Segnale / Rumore:
I termini di queste equazioni sono ordinati per importanza decrescente (ciascuno spiega il residuo non spiegato dalle precedenti), e la loro influenza positiva o negativa dipende dal segno dei coefficienti.
Quindi, tenendo conto del significato dei simboli delle interazioni logiche , deduciamo che:
- La risposta media diminuisce al diminuire di Riscaldamento o T ° Raffreddamento; il residuo non spiegato dai termini precedenti aumenta se T ° Quattro + tSousPresse aumenta; e infine il residuo di questi residui inspiegabili diminuisce se la T ° di raffreddamento aumenta contemporaneamente al diminuire della T ° Forno.
- Il rapporto Segnale / Rumore aumenta (quindi la dispersione diminuisce) all'aumentare della T ° Forno, ed anche al diminuire del Riscaldamento; il residuo non spiegato dai termini precedenti aumenta con T ° Quattro o tSousPresse; e infine il residuo di questi residui inspiegabili aumenta con il riscaldamento se la T ° Forno è bassa.
Questi modelli consentono (per più tiri variando i fattori), di trovare il compromesso ottimale per una deflessione Y media di 8 pollici con un elevato rapporto segnale / rumore. Per questo, possiamo definire curve di desiderabilità (il desiderio complessivo è un compromesso dei due):
La tabella seguente riporta, nella colonna "Scelta", i valori che favoriscono questo compromesso. Possono essere oggetto di un test di convalida.
| Basso | Superiore | Scelta | |
|---|---|---|---|
| T ° Forno | -1 | 1 | 0.99 |
| tRiscaldamento | -1 | 1 | -0,92 |
| tTransferForPress | -1 | 1 | 0 |
| tSubPress | -1 | 1 | 0.17 |
| T ° di raffreddamento | 1 | 2 | 1.03 |
| Ymoy | 7.203 | 8.07 | 7.98 |
| Segnale / Rumore | 3.701 | 11.636 | 11.04 |
Per una visione più sintetica del fenomeno, possiamo combinare modelli con un'analisi di dati come Iconografia delle correlazioni :
Figura 2 , analisi del collegamento.Linee continue: notevoli correlazioni positive.Linee tratteggiate: notevoli correlazioni negative.Da un lato, notiamo i legami positivi di Ymoy (freccia delle molle) con:
- il rapporto Segnale / Rumore,
- il T ° Forno.
D'altra parte il negativo collega Ymoy con:
- la durata del riscaldamento
- temperatura di raffreddamento.
Per quanto riguarda il rapporto Segnale / Rumore, dipende
- positivamente di T ° Quattro,
- negativamente il riscaldamento.
Utensili
Tra gli strumenti che consentono modelli di regressione multipla non postulati possiamo citare il software Corico .
Riferimenti
[3] Lesty M. (1999) Un nuovo approccio nella scelta di regressori di regressione multipla in presenza di interazioni e collinearità. Recensione di Modulad, n ° 22,Gennaio 1999, pagg. 41-77
[4] Lesty M. (2002) La ricerca di armoniche, una nuova funzione del software CORICO. Recensione di Modulad, n ° 29,Giugno 2002, pagg. 39-77