Metrica di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker
La metrica Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (di seguito FLRW) per descrivere una geometria spazio-temporale omogenea e isotropa . In cosmologia, questa metrica viene utilizzata per la descrizione dell'evoluzione dell'universo su larga scala. Costituisce lo strumento principale che porta alla costruzione del modello cosmologico standard: la teoria del Big Bang .
A seconda delle preferenze geografiche o storiche, la metrica FLRW e il suo conseguente modello cosmologico possono prendere il nome dai nomi di alcuni dei quattro scienziati: Alexander Friedmann , Georges Lemaître , Howard Percy Robertson e Arthur Geoffrey Walker . Troveremo ad esempio: Friedmann-Robertson-Walker (FRW), Robertson-Walker (RW), Friedmann-Lemaître (FL) ...
Evoluzione dell'universo secondo la metrica FLRW
La metrica FLRW descrive la geometria media dell'universo su larga scala. Ci fornisce le sue dinamiche e ci permette di conoscere l'evoluzione delle sue dimensioni (contrazione o espansione dell'universo).
Un universo omogeneo e isotropo rimane durante la sua evoluzione omogenea e isotropa. Non può spiegare la formazione delle strutture componenti, di densità disomogenea per definizione. La formazione delle sue strutture, come filamenti o ammassi di galassie , è consentita dall'introduzione di disturbi attorno a questa metrica FLRW. Questi disturbi aumentano nel tempo, per attrazione gravitazionale, e portano alla creazione delle grandi strutture osservate. Si suppone che siano di origine quantistica e la loro esistenza ci è data dall'osservazione del fondo cosmologico diffuso , effettuata utilizzando i satelliti COBE , WMAP e più recentemente Planck .
Formulazione matematica
Nelle coordinate sferiche , l' elemento di lunghezza spazio-temporale , per la metrica FLRW, è indicato:
(r,θ,ϕ){\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}
dS{\ displaystyle ds}![{\ displaystyle ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0fb36e4308227d3e4a1f809c2571ec02527100)
dS2=vs2dt2-a(t)2(dr21-Kr2+r2dΩ2){\ displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -a (t) ^ {2} \ left ({\ frac {{ \ rm {d}} r ^ {2}} {1-kr ^ {2}}} + r ^ {2} {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right)}
scegliendo la firma della metrica (in) dove:
(+---){\ displaystyle (+ ---)}![{\ displaystyle (+ ---)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60cd7987fce59165d6fd21aeec17baf5c4f87113)
-
a(t){\ displaystyle a (t) \;}
il fattore di scala . Il segno fornisce informazioni sull'evoluzione dell'universo: per un universo in espansione, per un universo contrazionale e per un universo statico, tutti considerati nel tempo . In un momento come questo , l'universo è volte più grande di adesso . In un momento come questo , l'universo è volte più piccolo di adesso ;a˙(t){\ displaystyle {\ dot {a}} (t)}
a˙(t)>0{\ displaystyle {\ dot {a}} (t)> 0}
a˙(t)<0{\ displaystyle {\ dot {a}} (t) <0}
a˙(t)=0{\ displaystyle {\ dot {a}} (t) = 0}
t{\ displaystyle t}
ta{\ displaystyle t_ {a}}
a(ta)=NON>1{\ displaystyle a (t_ {a}) = N> 1}
NON{\ displaystyle N}
tb{\ displaystyle t_ {b}}
a(tb)=1/NON<1{\ displaystyle a (t_ {b}) = 1 / N <1}
NON{\ displaystyle N}![NON](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
-
K{\ displaystyle k \;}
è il fattore di curvatura. per uno spazio rispettivamente con curvatura aperta (corrispondente ad una geometria iperbolica), con curvatura zero (corrispondente allo spazio euclideo di relatività ristretta ) e con curvatura chiusa (corrispondente ad una geometria sferica);K={-1,0,1}{\ displaystyle k = \ {- 1,0,1 \}}![{\ displaystyle k = \ {- 1,0,1 \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f9d102f90ba3738f8eea274b2a444ab374252a)
-
dΩ2=dθ2+peccato2θdϕ2{\ displaystyle \ textstyle {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} = {\ rm {d}} \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \; {\ rm {d}} \ phi ^ {2}}
è la metrica sulla sfera ;
-
t{\ displaystyle t}
è il tempo cosmico .
Introducendo il cambio di coordinate: dove permette di determinare la distanza comobile , viene riformulato l' elemento di lunghezza :
{r=peccato(χ/R0)Se K=1r=χ/R0Se K=0r=sinh(χ/R0)Se K=-1{\ displaystyle {\ begin {cases} r = \ sin (\ chi / R_ {0}) & {\ textrm {si}} \ k = 1 \\ r = \ chi / R_ {0} & {\ textrm { si}} \ k = 0 \\ r = \ sinh (\ chi / R_ {0}) & {\ textrm {si}} \ k = -1 \\\ end {case}}}
χ{\ displaystyle \ chi \;}
dS{\ displaystyle ds}![{\ displaystyle ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0fb36e4308227d3e4a1f809c2571ec02527100)
dS2=vs2dt2-a(t)2(dχ2+SK2(χ)dΩ2){\ displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -a (t) ^ {2} \ left ({\ rm {d }} \ chi ^ {2} + S_ {k} ^ {2} (\ chi) {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right)}
-
SK(χ)=R(t0){peccato(χ/R(t0))Se K=1χ/R(t0)Se K=0sinh(χ/R(t0))Se K=-1{\ Displaystyle S_ {k} (\ chi) = R (t_ {0}) {\ begin {cases} \ sin (\ chi / R (t_ {0})) & {\ textrm {si}} \ k = 1 \\\ chi / R (t_ {0}) & {\ textrm {si}} \ k = 0 \\\ sinh (\ chi / R (t_ {0})) & {\ textrm {si}} \ k = -1 \\\ end {case}} \;}
.
Metrica FLRW in funzione della curvatura spaziale
In uno spazio piatto
Per , la metrica FLRW è scritta:
K=0{\ displaystyle k = 0 \;}![{\ displaystyle k = 0 \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0740c90f40f0c4ac88a00c3a5b1b82ec1de57bcf)
dS2=vs2dt2-R(t)2(dr2+r2dΩ2){\ displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -R (t) ^ {2} \ left ({\ rm {d }} r ^ {2} + r ^ {2} {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right) \;}
Lo spazio è piatto, ma lo spazio-tempo no. La metrica è diversa dalla metrica di Minkowski che caratterizza la relatività speciale.
In uno spazio di curvatura positiva
Per , la metrica FLRW è scritta:
K=+1{\ displaystyle k = + 1 \; \;}![{\ displaystyle k = + 1 \; \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52022b2edab0b1005076b16d51e3bbf56bb51d5d)
dS2=vs2dt2-R(t)2(dr21-r2+r2dΩ2){\ displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -R (t) ^ {2} \ left ({\ frac {{ \ rm {d}} r ^ {2}} {1-r ^ {2}}} + r ^ {2} {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right)}
L' elemento di lunghezza avente una singolarità in , preferiamo usare la sua espressione secondo :
r=1{\ displaystyle r = 1}
χ{\ displaystyle \ chi}![\ chi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656111758322ace96d80a9371771aa6d3de25437)
dS2=vs2dt2-a(t)2(dχ2+R(t0)2peccato2(χ/R(t0))dΩ2){\ displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -a (t) ^ {2} \ left ({\ rm {d }} \ chi ^ {2} + R (t_ {0}) ^ {2} \ sin ^ {2} \ left (\ chi / R (t_ {0}) \ right) \; {\ rm {d} } \ Omega ^ {2} \ right) \;}
In uno spazio di curvatura negativa
Perché finalmente arriva:
K=-1{\ displaystyle k = -1 \;}![{\ displaystyle k = -1 \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d3a1fbd3456f842129099aa8bd1f37aa17d4727)
dS2=vs2dt2-R(t)2(dr21+r2+r2dΩ2)=vs2dt2-a(t)2(dχ2+R(t0)2sinh2(χ/R(t0))dΩ2){\ displaystyle {\ rm {d}} s ^ {2} = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -R (t) ^ {2} \ left ({\ frac {{ \ rm {d}} r ^ {2}} {1 + r ^ {2}}} + r ^ {2} {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right) = c ^ {2} {\ rm {d}} t ^ {2} -a (t) ^ {2} \ sinistra ({\ rm {d}} \ chi ^ {2} + R (t_ {0}) ^ {2} \ sinh ^ {2} \ left (\ chi / R (t_ {0}) \ right) \; {\ rm {d}} \ Omega ^ {2} \ right) \;}
Note e riferimenti
-
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-
L. Bergström, A. Goobar, Cosmologia e astrofisica delle particelle, a pagina 61 , 2 di edizione (2006) ( ISBN 3-540-32924-2 )
-
Pérez 2016 , p. 269.
-
Pérez 2016 , p. 270.
Vedi anche
Bibliografia
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[Friedmann 1924] (de) A. Friedmann , " Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes " ["Sulla possibilità di un universo con curvatura negativa costante"], Z. Phys. , vol. 21, n o 1,Dic. 1924, p. 326-332 ( DOI 10.1007 / BF01328280 , codice bib 1924ZPhy ... 21..326F ).
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