Metodo Tschirnhaus

Il metodo Tschirnhaus , ideato e sviluppato da Ehrenfried Walther von Tschirnhaus , è un tentativo di risolvere il punto chiave della teoria delle equazioni, ovvero trovare un metodo generale per risolvere l' equazione polinomiale . Questo metodo tenta di ridurre l'equazione che vogliamo risolvere ad altre equazioni di grado minore. Questo metodo fallisce definitivamente per le equazioni di grado maggiore o uguale a cinque che hanno un gruppo di Galois irrisolvibile .

Principio del metodo

Tschirnhaus ricorda innanzitutto che qualsiasi equazione di grado $n$

{\ displaystyle x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ dots + a_ {1} x + a_ {0} = 0}

si riduce classicamente a un'equazione senza termine di grado $n - 1$ , mediante un cambiamento di variabile della forma . In effetti, il coefficiente del termine nel polinomio ${\ displaystyle x = y + b_ {0}}$ ${\ displaystyle y ^ {n-1}}$

{\ displaystyle (y + b_ {0}) ^ {n} + a_ {n-1} (y + b_ {0}) ^ {n-1} + \ dots + a_ {1} (y + b_ {0 }) + A_ {0}}

È quindi sufficiente, che questo coefficiente sia zero, scegliere uguale a . ${\ displaystyle nb_ {0} + a_ {n-1}}$ $b_ {0}$ ${\ displaystyle - {\ frac {a_ {n-1}} {n}}}$

Questo gli dà l'idea, di cancellare più termini, di introdurre un fattore di incognita ausiliario $y$ che non è più una traduzione di $x$ ma un polinomio , ponendo:

{\ displaystyle x ^ {k} = b_ {k-1} x ^ {k-1} + \ dots + b_ {1} x + b_ {0} + y}

dove $k$ (rigorosamente inferiore a $n$ ) è il numero di termini da cancellare e la scelta dei coefficienti è spiegata di seguito. ${\ displaystyle b_ {k-1}, \ dots, b_ {1}, b_ {0}}$

Questa trasformazione è chiamata trasformazione Tschirnhaus .

Da eliminare $x$ tra questa relazione e l'equazione da risolvere, si ottiene un'equazione di grado $n$ e sconosciuto $y$ cui coefficienti dipendono dalle $k$ coefficienti $b i$ . Proviamo quindi a determinare i coefficienti in modo da ottenere un'equazione in $y$ più semplice da risolvere, ad esempio (per $k$ $=$ $n$ $- 1$ ) della forma: $bi}$

{\ displaystyle y ^ {n} -c = 0}

Per questo, nella equazione $y$ , si setta pari alla $0$ tutti i coefficienti dei monomi di grado $1$ a $n - 1$ . Si ottiene così un sistema di $n - 1$ equazioni con $n - 1$ incognite . Questi valori, una volta ottenuti, sono riportati nell'equazione: ${\ displaystyle b_ {n-2}, \ dots, b_ {1}, b_ {0}}$

{\ displaystyle x ^ {n-1} -b_ {n-2} x ^ {n-2} - \ dots -b_ {1} x- (b_ {0} + y) = 0}

dove $y$ successivamente prende come valore una delle $n$ $n$ - esime radici di $c$ .

Tschirnhaus riduce così (nell'esempio $n = 3$ ) la risoluzione di un'equazione di grado $n$ a quella di $n$ equazioni di grado $n - 1$ . Tuttavia, il suo metodo fornisce $n ( n - 1)$ valori per $x$ , che devono essere testati per rilevare, tra questi, le $n$ soluzioni efficaci. Specificando la nostra idea, possiamo trovare direttamente queste $n$ soluzioni (una per ogni valore di $y$ ).

Il metodo di cui sopra consente a Tschirnhaus di fornire, per le soluzioni di un'equazione cubica , una nuova formula, diversa da quella di Cardan . Trova anche quest'ultimo con un altro cambio di variabile: $xy = y 2 + a$ , reinventando così la sostituzione di Viète .

Applicazione alla soluzione di equazioni cubiche

Considera un'equazione di grado 3, senza perdere la generalità della forma

{\ displaystyle x ^ {3} + px + q = 0}

con . Poniamoci, come indicato sopra: ${\ displaystyle p \ neq 0}$

{\ displaystyle x ^ {2} = ax + b + y}

Il sistema

{\ displaystyle {\ begin {cases} x ^ {3} + px + q & = 0 \\ x ^ {2} & = ax + b + y \ end {cases}}}

è equivalente al sistema

{\ displaystyle {\ begin {case} (a ​​^ {2} + b + y + p) x & = - (q + ab + ay) \\ x ^ {2} & = ax + b + y \ end { case}}}

che ammette soluzioni $x$ se e solo se

{\ displaystyle (q + ab + ay) ^ {2} = - a (q + ab + ay) (a ^ {2} + b + y + p) + (b + y) (a ^ {2} + b + y + p) ^ {2}}

Questa condizione viene riscritta:

{\ displaystyle y ^ {3} + (3b + 2p) y ^ {2} + (3b ^ {2} + 4pb + p ^ {2} + pa ^ {2} -3qa) y + b ^ {3} + 2pb ^ {2} + p ^ {2} b + pa ^ {2} b-3qab-q ^ {2} -pqa-qa ^ {3} = 0 \ quad (*)}

Si determina $una$ e $B$ in modo che esso non contenga un termine in $y$ 2 o $y$ :

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ begin {cases} 3b + 2p & = 0 \\ 3b ^ {2} + 4pb + p ^ {2} + pa ^ {2} -3qa & = 0 \ end {cases}} \\\ Leftrightarrow & {\ begin {cases} b & = - {\ frac {2p} {3}} \\ a & = {\ frac {3} {p}} \ left ({\ frac {q} {2}} + \ delta \ right) {\ text {with}} \ delta ^ {2} = {\ frac {q ^ {2}} {4}} + {\ frac {p ^ {3 }} {27}}. \ End {cases}} \ end {align}}}

Questa scelta di $un$ e $b$ permette di semplificare l'equazione , che diventa: $(*)$

{\ displaystyle y ^ {3} = \ sinistra ({\ frac {6 \ delta} {p}} \ destra) ^ {3} {\ frac {pa} {3}}}

In conclusione la soluzione scegliendo una radice cubica $z$ di , regolazione per , e calcolando, per ciascuno di questi tre valori, le due soluzioni della equazione quadratica . Si ottengono così in generale 6 valori distinti, di cui necessariamente fanno parte le 3 soluzioni di . Per concludere, è sufficiente testare questi 6 valori. ${\ displaystyle {\ frac {pa} {3}}}$ ${\ displaystyle y_ {k} = {\ frac {6 \ delta} {p}} z \, \ mathrm {j} ^ {k}}$ ${\ displaystyle k = 0,1,2}$ ${\ displaystyle x ^ {2} = ax + b + y_ {k}}$ ${\ displaystyle x ^ {3} + px + q = 0}$

Metodo speciale per equazioni di quarto grado

Considera un'equazione di grado 4, senza perdere la generalità della forma

{\ displaystyle x ^ {4} + px ^ {2} + qx + r = 0}

con . Considera la seguente trasformazione di Tschirnhaus: ${\ displaystyle q \ neq 0}$

{\ displaystyle x ^ {2} = ax + b + y}

Il sistema

{\ displaystyle {\ begin {cases} x ^ {4} + px ^ {2} + qx + r & = 0 \\ x ^ {2} & = ax + b + y \ end {cases}}}

ammette soluzioni $x$ se e solo se

{\ displaystyle y ^ {4} + (4b + 2p) y ^ {3} + Ay ^ {2} + By + C = 0 \ quad (**)}

con

{\ displaystyle A = 6b ^ {2} + 6bp + pa ^ {2} -3qa + p ^ {2} + 2r}

{\ displaystyle B = 4b ^ {3} + 6pb ^ {2} + 2b (pa ^ {2} -3qa + p ^ {2} + 2r) + 2r (2a ^ {2} + p) -q (a ^ {3} + pa + q)}

{\ displaystyle C = b ^ {4} + 2pb ^ {3} + b ^ {2} (pa ^ {2} -3qa + p ^ {2} + 2r) + b \ left [2r (2a ^ {2 } + p) -q (a ^ {3} + pa + q) \ right] + ar (a ^ {3} + pa-q) + r ^ {2}}

L'equazione è quadrata se $(**)$

{\ displaystyle {\ begin {cases} 4b + 2p & = 0 \\ B & = 0, \ end {cases}}}

che è uguale a

{\ displaystyle {\ begin {case} b = - {\ frac {p} {2}} \\ - qa ^ {3} + (4r-p ^ {2}) a ^ {2} + 2pqa-q ^ {2} & = 0. \ end {cases}}}

Per risolverlo è sufficiente: ${\ displaystyle x ^ {4} + px ^ {2} + qx + r = 0}$

trovare una soluzione $a$ della " risoluzione dell'equazione cubica (in) " ; ${\ displaystyle -qa ^ {3} + (4r-p ^ {2}) a ^ {2} + 2pqa-q ^ {2} = 0}$
calcola $A$ e $C$ per questa scelta di $a$ e per ; ${\ displaystyle b = - {\ frac {p} {2}}}$
trova le quattro soluzioni ( ) dell'equazione quadrupla ottenuta; $y_ {k}$ ${\ displaystyle k = 0,1,2,3}$ ${\ displaystyle y ^ {4} + Ay ^ {2} + C = 0}$
per ciascuno di questi quattro valori, trova le due soluzioni ( ) di . ${\ displaystyle x_ {k, j}}$ ${\ displaystyle j = 0,1}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -ax-b-y_ {k} = 0}$

Si ottengono così 8 valori , di cui necessariamente fanno parte le 4 soluzioni di . Per concludere, è sufficiente testare questi 8 valori. ${\ displaystyle x_ {k, j}}$ ${\ displaystyle x ^ {3} + px + q = 0}$

Equazione di quinto grado

Per ulteriori informazioni su questo, vedere l' articolo di Bring Radical .

Nota storica

Questo metodo è il primo metodo generale per risolvere le equazioni ad essere stato pubblicato. La sua pubblicazione risale al 1683 .

Note e riferimenti

(la) Tschirnhaus, “ Methodus auferendi omnes terminos Intermedios ex dati aequatione ” , Acta Eruditorum ,Maggio 1683, p. 204-207 ( leggi in linea ). Traduzione inglese: (en) RF Green, " Un metodo per rimuovere tutti i termini intermedi da una data equazione " , ACM SIGSAM Bulletin , vol. 37, n o 1,Marzo 2003( leggi online ).
(in) Victor S. Adamchik e David J. Jeffrey, " Polynomial transformations of Tschirnhaus, and Jerrard Bring " , ACM SIGSAM Bulletin , Vol. 37, n o 3,Settembre 2003( leggi online ).
Questi calcoli di Tschirnhaus 1683 sono dettagliati, completati e testati su un esempio, nella prima parte di un incarico corretto su Wikiversità : segui il link in fondo alla pagina .
Tschirnhaus 1683 , tranne per notazioni.
Questi calcoli sono descritti (e testato su un esempio) nella seconda parte del compito Wikiversità già menzionato.

Vedi anche

Joseph-Alfred Serret , Corso di algebra superiore , t. 1,1866, 3 e ed. ( 1 ° ed. 1849) ( linea di lettura ) , p. 420-430