Grönwall Lemma

In matematica , il lemma di Grönwall , chiamato anche disuguaglianza di Grönwall, dal nome di Thomas Hakon Grönwall che lo stabilì nel 1919, consente la stima di una funzione che soddisfa una certa disuguaglianza differenziale. Il lemma esiste in due forme, integrale e differenziale.

Il lemma di Grönwall costituisce la giustificazione e lo strumento per ottenere molte approssimazioni delle soluzioni di equazioni differenziali ordinarie . In particolare, viene utilizzato per dimostrare l'unicità di una soluzione al problema di Cauchy, attraverso il teorema di Cauchy-Lipschitz .

Forma integrale

Se e sono funzioni continue che soddisfano: ψ≥0{\ displaystyle \ psi \ geq 0}ϕ{\ displaystyle \ phi}

∀t≥t0ϕ(t)≤K+∫t0tψ(S)ϕ(S)dS{\ displaystyle \ forall t \ geq t_ {0} \ quad \ phi (t) \ leq K + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ psi (s) \ phi (s) \, \ mathrm {d} s}

dove è una costante, quindi: K{\ displaystyle K}

∀t≥t0ϕ(t)≤Kexp⁡(∫t0tψ(S)dS){\ displaystyle \ forall t \ geq t_ {0} \ quad \ phi (t) \ leq K \ exp \ left (\ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ psi (s) \, \ mathrm { d} s \ right)}. Dimostrazione

In entrambi i casi . f(t)=K+∫t0tψ(S)ϕ(S)dSexp⁡(∫t0tψ(S)dS){\ displaystyle f (t) = {\ frac {K + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ psi (s) \ phi (s) \, \ mathrm {d} s} {\ exp \ sinistra (\ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ psi (s) \, \ mathrm {d} s \ right)}}}

Allora, f′(t)=ψ(t)ϕ(t)-K-∫t0tψ(S)ϕ(S)dSexp⁡(∫t0tψ(S)dS)≤0{\ Displaystyle f '(t) = \ psi (t) {\ frac {\ phi (t) -K- \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ psi (s) \ phi (s) \ , \ mathrm {d} s} {\ exp \ left (\ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ psi (s) \, \ mathrm {d} s \ right)}} \ leq 0}

quindi , vale a dire che la funzione di limite superiore dell'ipotesi è essa stessa aumentata di quella della conclusione. ∀t≥t0f(t)≤f(t0)=K{\ displaystyle \ forall t \ geq t_ {0} \ quad f (t) \ leq f (t_ {0}) = K}

In particolare, se e poi . K=0{\ displaystyle K = 0}ϕ≥0{\ displaystyle \ phi \ geq 0}ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}

Forma differenziale

Se vale la seguente equazione differenziale :

dϕdt(t)≤ψ(t)ϕ(t){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} (t) \ leq \ psi (t) \ phi (t)},

poi abbiamo la disuguaglianza:

ϕ(t)≤ϕ(t0)exp⁡(∫t0tψ(S)dS){\ displaystyle \ phi (t) \ leq \ phi (t_ {0}) \ exp \ left (\ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ psi (s) \, \ mathrm {d} s \ giusto)}

per . t≥t0{\ displaystyle t \ geq t_ {0}}

In particolare, se , allora . ϕ(t0)=0{\ displaystyle \ phi (t_ {0}) = 0}∀t≥t0ϕ(t)≤0{\ displaystyle \ forall t \ geq t_ {0} \ quad \ phi (t) \ leq 0}

È importante notare che la forma differenziale del lemma di Grönwall rimane vera senza l'assunzione di positività sulla funzione . ψ{\ displaystyle \ psi}

Forma discreta

La versione discreta del lemma di Grönwall si trova in letteratura in una moltitudine di variazioni. Attualmente è utilizzato per studiare la stabilità numerica dei diagrammi di integrazione.

Considera le seguenti tre sequenze di numeri reali positivi:

Δtnon{\ displaystyle \ Delta t_ {n}} il passo temporale ad ogni iterazione, enon{\ displaystyle e_ {n}}l'errore totale (accumulato) all'iterazione ,non{\ displaystyle n} εnon{\ displaystyle \ varepsilon _ {n}}l'errore aggiuntivo portato dall'iterazione .non{\ displaystyle n}

Consideriamo anche il numero reale positivo che rappresenta un fattore di amplificazione dell'errore. λ{\ displaystyle \ lambda}

Infine aggiungiamo, per semplificare la scrittura:

tnon{\ displaystyle t_ {n}}il tempo di iterazione ,non{\ displaystyle n}

così quello . tnon=t0+∑io=0non-1Δtio{\ displaystyle t_ {n} = t_ {0} + \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ Delta t_ {i}}

Se inoltre gli errori successivi sono collegati da

∀non≥0enon+1≤(1+λΔtnon)enon+εnon{\ displaystyle \ forall n \ geq 0 \ quad e_ {n + 1} \ leq (1+ \ lambda \ Delta t_ {n}) e_ {n} + \ varepsilon _ {n}},

allora :

enon≤e(tnon-t0)λe0+∑io=0non-1eλ(tnon-tio+1)εio{\ displaystyle e_ {n} \ leq e ^ {(t_ {n} -t_ {0}) \ lambda} e_ {0} + \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} e ^ {\ lambda (t_ {n} -t_ {i + 1})} \ varepsilon _ {i}}.

La dimostrazione è fatta per induzione, annotandolo per tutto . 1+μ≤eμ{\ displaystyle 1+ \ mu \ leq e ^ {\ mu}}μ≥0{\ displaystyle \ mu \ geq 0}

Vedi anche

(en) JA Oguntuase, "  On an inequality of Gronwall  " , Journal of Inequality in Pure and Applied Mathematics , vol.  2, n o  1,2001( leggi online [ archivio di28 luglio 2008] )

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