Disuguaglianza di Le Cam

La disuguaglianza di Le Cam , dovuta a Lucien Le Cam , specifica la velocità di convergenza della legge della somma di un gran numero di variabili di Bernoulli indipendenti di piccolo parametro verso la legge di Poisson . La sua dimostrazione, elegante e poco calcolatrice, illustra il metodo di accoppiamento reso popolare da Wolfgang Döblin .

stati

Sia un array di variabili casuali di Bernoulli indipendenti , con rispettivi parametri. Indichiamo (X1,non,X2,non,...,Xanon,non)non≥1{\ displaystyle (X_ {1, n}, X_ {2, n}, \ dots, X_ {a_ {n}, n}) _ {n \ geq 1}} pK,non.{\ displaystyle p_ {k, n}.}

Snon=∑K=1anonXK,noneλnon = E[Snon]=∑K=1anonpK,non.{\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, X_ {k, n} \ quad {\ text {e}} \ quad \ lambda _ {n} \ = \ \ mathbb {E} [S_ {n}] = \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k, n}.}

Allora

Disuguaglianza di Le Cam  -  Per qualsiasi insieme A di numeri naturali,

|P(Snon∈A)-∑ℓ∈Aλnonℓe-λnonℓ!| ≤ ∑K=1anonpK,non2.{\ Displaystyle \ left | \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ in A \ right) - \ sum _ {\ ell \ in A} \, {\ frac {\ lambda _ {n} ^ {\ ell} \, e ^ {- \ lambda _ {n}}} {\ ell!}} \ right | \ \ leq \ \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k, n} ^ {2}.}

In particolare, S n segue approssimativamente la legge di Poisson con parametro λ non appena sono soddisfatte le seguenti due condizioni:

• limnonλnon=λ>0, {\ displaystyle \ lim _ {n} \ lambda _ {n} \, = \, \ lambda> 0, \}
• limnon∑K=1anonpK,non2=0. {\ Displaystyle \ lim _ {n} \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k, n} ^ {2} \, = \, 0. \}

In effetti, la disuguaglianza di Le Cam implica che:

∑ℓ∈NON |P(Snon=ℓ)-λnonℓe-λnonℓ!| ≤ 2 ∑K=1anonpK,non2.{\ Displaystyle \ sum _ {\ ell \ in \ mathbb {N}} \ \ left | \ mathbb {P} \ left (S_ {n} = \ ell \ right) - \, {\ frac {\ lambda _ { n} ^ {\ ell} \, e ^ {- \ lambda _ {n}}} {\ ell!}} \ right | \ \ leq \ 2 \ \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n} } \, p_ {k, n} ^ {2}.}

Conseguenza: paradigma di Poisson

Mettiamoci in posa

Mnon=max1≤K≤anonpK,non.{\ displaystyle M_ {n} = \ max _ {1 \ leq k \ leq a_ {n}} \, p_ {k, n}.}

Abbiamo disuguaglianze:

Mnon2≤∑1≤K≤anonpK,non2≤Mnonλnon,eanon≥λnon/Mnon,{\ displaystyle M_ {n} ^ {2} \ leq \ sum _ {1 \ leq k \ leq a_ {n}} \, p_ {k, n} ^ {2} \ leq M_ {n} \ lambda _ { n}, \ quad {\ text {e}} \ quad a_ {n} \ geq \ lambda _ {n} / M_ {n},}

quindi le due condizioni e quelle che compaiono nella sezione precedente , risultano in limnonλnon=λ>0, {\ displaystyle \ lim _ {n} \ lambda _ {n} \, = \, \ lambda> 0, \}limnon∑K=1anonpK,non2=0, {\ displaystyle \ lim _ {n} \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k, n} ^ {2} \, = \, 0, \}

• limnonMnon=0, {\ displaystyle \ lim _ {n} M_ {n} \, = \, 0, \}
• limnonanon=+∞. {\ displaystyle \ lim _ {n} a_ {n} \, = \, + \ infty. \}

Entrambe le condizioni e sono spesso riformulate in modo informale come segue: limnonMnon=0 {\ displaystyle \ lim _ {n} M_ {n} \, = \, 0 \}limnonanon=+∞ {\ displaystyle \ lim _ {n} a_ {n} \, = \, + \ infty \}

Paradigma di Poisson  -  La somma S n di un gran numero di variabili di Bernoulli indipendenti di piccolo parametro segue approssimativamente la distribuzione di Poisson del parametroE[Snon].{\ displaystyle \ mathbb {E} [S_ {n}].}

Osservazioni

• Questa proprietà può rimanere vera se allentiamo l'ipotesi di indipendenza , come vediamo nel caso del numero di punti fissi di una permutazione disegnata a caso . Il paradigma di Poisson è stato generalizzato in molte direzioni.
• Il caso particolare a n = n, λ n = λ / n della disuguaglianza di Le Cam specifica la velocità di convergenza della legge binomiale dei parametri n e λ / n verso la legge di Poisson del parametro λ .

Dimostrazione

Accoppiamento legge di Bernoulli-Poisson

L'idea è di mostrare una legge di probabilità μ p , sul piano, il cui primo marginale è una legge di Bernoulli , il secondo una legge di Poisson , entrambe di aspettativa p , tali che il peso della prima bisettrice sia massimo. In altre parole, si tratta di costruire, su uno spazio di probabilità ben scelto, due variabili casuali reali X e Y , X secondo la legge di Bernoulli del parametro p , Y secondo la legge di Poisson del parametro p , quindi minimo, o , almeno, sufficientemente piccolo, essendo μ p allora la legge congiunta della coppia (X, Y) . È chiaro che P(X≠Y){\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ neq Y)}

P(X=Y=K)≤min(P(X=K),P(Y=K)),{\ Displaystyle \ mathbb {P} (X = Y = k) \ leq \ min \ sinistra (\ mathbb {P} (X = k), \ mathbb {P} (Y = k) \ destra),}

così che

P(X=Y)≤∑K min(P(X=K),P(Y=K)).{\ Displaystyle \ mathbb {P} (X = Y) \ leq \ sum _ {k} \ \ min \ left (\ mathbb {P} (X = k), \ mathbb {P} (Y = k) \ right ).}

Nel caso di Poisson-Bernoulli, questo limite viene raggiunto utilizzando il teorema inverso , in modo da costruire X e Y sull'intervallo ] 0,1 [ fornito con la misura di Lebesgue. In tal modo

X(ω) = 11[1-p,1[(ω),{\ displaystyle X (\ omega) \ = \ 1 \! \! 1 _ {[1-p, 1 [} (\ omega),}

mentre

Y(ω) = 11[e-p,(1+p)e-p[(ω)+211[(1+p)e-p,(1+p+(p2/2))e-p[(ω)+...,{\ displaystyle Y (\ omega) \ = \ 1 \! \! 1 _ {[e ^ {- p}, (1 + p) e ^ {- p} [} (\ omega) \, + \, 2 \, 1 \! \! 1 _ {[(1 + p) e ^ {- p}, (1 + p + (p ^ {2} / 2)) e ^ {- p} [} (\ omega) \, + \, \ punti,}

In questo caso, X e Y coincidono sugli intervalli:

• ] 0,1-p [ , dove le 2 variabili sono uguali a 0,
• e [e -p , (1 + p) e -p [ , dove le 2 variabili sono uguali a 1.

Le due variabili differiscono sul complemento dell'unione di questi due intervalli, cioè su [1-p, 1 [\ [e -p , (1 + p) e -p [ . In tal modo,

P(X=Y)=∑K min(P(X=K),P(Y=K))=min(1-p,e-p)+min(p,pe-p)=1-p+pe-p,{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = Y) = \ sum _ {k} \ \ min \ sinistra ({\ scriptstyle \ mathbb {P} (X = k), \ mathbb {P} (Y = k) } \ right) = \ min (1-p, e ^ {- p}) + \ min (p, pe ^ {- p}) = 1-p + pe ^ {- p},}

e

μp({(X,y)|X≠y}) = P(X≠Y) = p(1-e-p) ≤ p2.{\ displaystyle \ mu _ {p} (\ {(x, y) \, | \, x \ neq y \}) \ = \ \ mathbb {P} (X \ neq Y) \ = \ p \ left ( 1-e ^ {- p} \ right) \ \ leq \ p ^ {2}.}

Conclusione

Ci diamo una sequenza di variabili casuali indipendenti con valori nel piano, tali che la legge di probabilità di ogni termine della sequenza è Indichiamo e le due coordinate di e impostiamo (ZK,non)1≤K≤non,{\ displaystyle (Z_ {k, n}) _ {1 \ leq k \ leq n},}ZK,non{\ displaystyle Z_ {k, n}}μpK,non.{\ displaystyle \ mu _ {p_ {k, n}}.}XK,non{\ displaystyle X_ {k, n}}YK,non{\ displaystyle Y_ {k, n}}ZK,non,{\ displaystyle Z_ {k, n},}

Wnon=∑K=1anonYK,non.{\ displaystyle W_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, Y_ {k, n}.}

In tal modo :

• loro sono indipendenti e seguono le leggi di Bernoulli di parametriXK,non{\ displaystyle X_ {k, n}}pK,non ;{\ displaystyle p_ {k, n} \;}
• la loro somma S n ha quindi la legge che vogliamo studiare;
• loro sono indipendenti e seguono le leggi di Poisson di parametriYK,non{\ displaystyle Y_ {k, n}}pK,non ;{\ displaystyle p_ {k, n} \;}
• W n segue la distribuzione di Poisson del parametro essendo la somma delle variabili di Poisson indipendenti dei parametriλnon = ∑K=1anonpK,non,{\ displaystyle \ lambda _ {n} \ = \ \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k, n},}pK,non ;{\ displaystyle p_ {k, n} \;}
• in particolare, l'approssimazione proposta per risulta essere:P(Snon∈A){\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ in A \ right)}

P(Wnon∈A) = ∑ℓ∈Aλnonℓe-λnonℓ! ;{\ Displaystyle \ mathbb {P} \ left (W_ {n} \ in A \ right) \ = \ \ sum _ {\ ell \ in A} \, {\ frac {\ lambda _ {n} ^ {\ ell } \, e ^ {- \ lambda _ {n}}} {\ ell!}} \;}

• P(XK,non≠YK,non) ≤ pK,non2.{\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {k, n} \ neq Y_ {k, n}) \ \ leq \ p_ {k, n} ^ {2}.}

Abbiamo

P(Snon∈A)-P(Wnon∈A)≤P(Snon∈A)-P(Wnon∈A e Snon∈A)=P(Snon∈A e Wnon∉A)≤P(Snon≠Wnon){\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ in A \ right) - \ mathbb {P} \ left (W_ {n} \ in A \ right) & \ leq \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ in A \ right) - \ mathbb {P} \ left (W_ {n} \ in A {\ text {et}} S_ {n} \ in A \ right) \\ & = \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ in A {\ text {et}} W_ {n} \ notin A \ right) \\ & \ leq \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ neq W_ {n} \ right) \ end {align}}}

e, scambiando il ruolo di W n e quello di S n ,

|P(Snon∈A)-P(Wnon∈A)|≤P(Snon≠Wnon).{\ Displaystyle \ left | \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ in A \ right) - \ mathbb {P} \ left (W_ {n} \ in A \ right) \ right | \ leq \ mathbb {P} \ sinistra (S_ {n} \ neq W_ {n} \ destra).}

Inoltre, come

{Snon≠Wnon} ⊂ {∃K ad esempio XK,non≠YK,non},{\ displaystyle \ {S_ {n} \ neq W_ {n} \} \ \ subset \ \ left \ {\ exist k {\ text {come}} X_ {k, n} \ neq Y_ {k, n} \ giusto \},}

lo deduciamo

{ω∈Ω|Snon(ω)≠Wnon(ω)} ⊂ ⋃1≤K≤anon{ω∈Ω|XK,non(ω)≠YK,non(ω)},{\ displaystyle \ {\ omega \ in \ Omega \, | \, S_ {n} (\ omega) \ neq W_ {n} (\ omega) \} \ \ subset \ \ bigcup _ {1 \ leq k \ leq a_ {n}} \ sinistra \ {\ omega \ in \ Omega \, | \, X_ {k, n} (\ omega) \ neq Y_ {k, n} (\ omega) \ right \},}

Finalmente

P(Snon≠Wnon) ≤ ∑1≤K≤anonP(XK,non≠YK,non) ≤ ∑1≤K≤anon pK,non2.{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ neq W_ {n} \ right) \ \ leq \ \ sum _ {1 \ leq k \ leq a_ {n}} \ mathbb {P} \ left (\, X_ {k, n} \ neq Y_ {k, n} \ right) \ \ leq \ \ sum _ {1 \ leq k \ leq a_ {n}} \ p_ {k, n} ^ {2} .}

Avere

Appunti

1. Articolo originale: (in) L. Le Cam , "  An Approximation Theorem for the Binomial Distribution Poisson  " , Pacific Journal of Mathematics , vol.  10, n o  4,1960, p.  1181–1197 ( letto online , accesso 13 maggio 2009 ). Un riferimento online è (en) Torgny Lindvall , Lectures on the coupling method , New York / Chichester / Brisbane (Australia), John Wiley & Sons ,1992, 1 °  ed. , 257  p. ( ISBN  0-471-54025-0 ) , p.  4-6.
2. (in) AD Barbour , L. Holst e S. Janson , Poisson approssimation , Oxford, Clarendon Press, Oxford University Press,1992, 277  p. ( ISBN  0-19-852235-5 ).
3. Visualizza (in) Torgny Lindvall , Lectures on the coupling method , New York / Chichester / Brisbane (Australia), John Wiley & Sons ,1992, 1 °  ed. , 257  p. ( ISBN  0-471-54025-0 ) , p.  18-20, sezione 1.5Soprattutto il Teorema 5.2, per una discussione del legame con la variazione di distanza , e una prova che questo terminale può ancora essere ottenuto utilizzando un edificio X e Y appropriato .

Bibliografia

• (en) Torgny Lindvall , Lectures on the Coupling Method , Dover Publications ,30 agosto 2002, 2 °  ed. , 272  p. , brossura ( ISBN  0-486-42145-7 e 978-0486421452 , leggi online )

Pagine collegate

• Lucien Le Cam
• Legge di Bernoulli
• Legge di Poisson
• Accoppiamento (probabilità)

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