Altezza di un triangolo

Nella geometria piana , l' altezza di un triangolo è chiamata ciascuno dei tre segmenti retti formati da ciascuno dei vertici del triangolo e la loro proiezione ortogonale sul lato opposto a questo vertice.

Orthocenter

Le tre altezze di un triangolo sono simultanee. Il loro punto di intersezione H, è chiamato ortocentro del triangolo.

Dimostrazione

Consideriamo l' omotetia del centro il centro di gravità del triangolo e del rapporto –2. Trasforma il triangolo ABC nel triangolo A'B'C '.

Il punto I punto medio di [BC] ha per immagine il punto A che è quindi il punto medio di [B'C ']. L'altezza risultante da A è perpendicolare a [BC] quindi a [B'C ']. Poiché passa anche attraverso il suo punto medio, è la bisettrice perpendicolare del segmento [B'C '].

Dimostriamo così che le tre altezze del triangolo ABC sono le tre bisettrici perpendicolari del triangolo A'B'C '. Pertanto, sono concorrenti .

L'ortocentro è il baricentro dei sistemi :

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A & B & C \\\ tan {\ hat {A}} & \ tan {\ hat {B}} & \ tan {\ hat {C}} \ end {pmatrix} }}$ o o anche . ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A & B & C \\ a / \ cos {\ hat {A}} & b / \ cos {\ hat {B}} & c / \ cos {\ hat {C} } \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A & B & C \\ {\ frac {1} {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}}} & {\ frac {1} { c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2}}} & {\ frac {1} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}} \ end {pmatrix }}}$

Le sue coordinate trilineari rispetto ai lati del triangolo sono o . ${\ displaystyle 1 / \ cos {\ hat {A}}: 1 / \ cos {\ hat {B}}: 1 / \ cos {\ hat {C}}}$ ${\ displaystyle \ cos {\ widehat {A}} - \ sin {\ widehat {B}} \ sin {\ widehat {C}}: \ cos {\ widehat {B}} - \ sin {\ widehat {C} } \ sin {\ widehat {A}}: \ cos {\ widehat {C}} - \ sin {\ widehat {A}} \ sin {\ widehat {B}}}$

I tre vertici del triangolo e il loro ortocentro formano un quadrilatero ortocentrico : ciascuno di questi punti è l'ortocentro del triangolo formato dagli altri tre punti.

In un triangolo, anche il centro del cerchio inscritto nel triangolo ei centri dei cerchi escreti formano un quadrilatero ortocentrico.

Simmetrico dell'ortocentro

Sul cerchio circoscritto si trovano i simmetrici A 1 , B 1 e C 1 dell'ortocentro H rispetto ai punti medi dei lati del triangolo .

Sul cerchio circoscritto si riscontra anche la simmetria ortogonale A 2 , B 2 e C 2 dell'ortocentro rispetto ai lati del triangolo.

Segue dall'osservazione che da un lato , e dall'altro quello , e lo stesso per . ${\ displaystyle {\ widehat {AHC}} = {\ widehat {A}} + {\ widehat {C}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {AB_ {1} C}} = {\ widehat {AHC}} = \ pi - {\ widehat {B}}}$ $B_2$

Per un'altra dimostrazione sull'uso dell'omotetia vedi il Circolo di Eulero .

Taylor Circle

Siano A ', B' e C 'i piedi delle altezze del triangolo. Indichiamo con A 2 e A 3 le proiezioni ortogonali di A 'sui lati AB e AC del triangolo e definiamo allo stesso modo B 2 e B 3 rispetto a B' e C 2 e C 3 rispetto a C '. I sei punti così definiti sono ciclici: si trovano sul cerchio di Taylor del triangolo.

Abbiamo: (A 2 A 3 , BC) = (AB, AC), la linea (A 2 A 3 ) è antiparallela di (BC) rispetto a (AB) e (AC), e proprietà simili per (B 2 B 3 ) e (C 2 C 3 ).

(B 2 C 2 ) è parallelo a (BC). Allo stesso modo (A 2 C 3 ) // (AC) e (A 3 B 3 ) // (AB).

È la configurazione di un particolare cerchio di Tücker , chiamato cerchio di Taylor .

Troviamo A 2 A 3 = B 2 B 3 = C 2 C 3 .

L'esagono avente queste sei proiezioni come vertici è l'esagono catalano .

Centro del cerchio di Taylor

Le tre linee (A 1 A 2 ), (B 1 B 2 ) e (C 1 C 2 ) che uniscono le proiezioni sono parallele ai lati del triangolo ortico e ne intersecano i lati nei loro punti medi P, Q e R. Queste linee determinare i lati del triangolo PQR che è il triangolo medio del triangolo ortico.

Il centro si trova sulla linea che collega il centro O del cerchio circoscritto al punto di Lemoine , passando per i punti X15, X32 al centro di O-X52

Se il triangolo ABC è un angolo acutangle, il centro del cerchio di Taylor è il centro del cerchio inscritto nel triangolo mediano del triangolo ortico.

Se il triangolo ABC è ottuso, il centro del cerchio di Taylor è uno dei centri dei cerchi inscritti del triangolo PQR. Più precisamente, se ABC è ottuso in A (rispettivamente in B, in C), allora il centro del cerchio di Taylor è il centro del cerchio escritto in PQR nell'angolo del vertice P, punto medio di [B'C '] (rispettivamente Punto medio Q di [C'A '], punto medio R di [A'B']).

Asse ortico

In un triangolo ABC, sia A '(rispettivamente B' e C ') il piede dell'altezza da A (rispettivamente da B e C).

A 1 , B 1 e C 1 sono gli altri tre punti di intersezione dei lati del triangolo ABC e quelli del triangolo ortico A'B'C ': indichiamo con A 1 l'intersezione di (BC) e (B' C '), B 1 l'intersezione di (AC) e (A'C'), C 1 l'intersezione di (AB) e (A'B ').

I tre punti A 1 , B 1 e C 1 sono allineati su una linea chiamata asse ortico del triangolo.

L'asse ortico è anche l' asse radicale del cerchio circoscritto e del cerchio di Eulero .

La linea di Eulero , linea dei centri dei due cerchi è perpendicolare all'asse.

Vedi anche

Bibliografia

Jacques Bouteloup, " Circles of Tücker ", Quadrature ,Gennaio-marzo 2007( leggi online )
Jean-Denis Eiden, Geometria analitica classica , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN 978-2-91-635208-4 )
Jean Fresnel, Metodi moderni in geometria
Bruno Ingrao, Coniche affine, euclidee e proiettive , C&M ( ISBN 978-2-916352-12-1 )

link esterno

Patrice Debart, " triangolo ortico " , su Descartes e matematica