Il determinismo come concetto di matematica è nata con la formalizzazione della matematica, alla fine del XIX ° secolo e l'inizio del XX ° secolo, ed è diventato una nozione centrale della computabilità con la comparsa della teoria degli automi a metà del XX ° secolo . L'emergere di Quantum Computing alla fine del XX ° secolo e il forte disegno della tesi di Church-Turing , nota tesi di Church-Turing-Deutsch , in grado di progettare una sintesi computazionale tra la fisica determinismo e il determinismo promosso dalla scuola di fisica digitale, di di cui la proposizione “it from bit” è diventata l'emblema.
Il mistero dell'esistenza di corrispondenze tra certi fenomeni naturali e principi matematici fu espresso per la prima volta all'interno della scuola pitagorica sotto la dottrina dell'armonia delle sfere . D'altra parte, era necessario aspettare che Kant ponesse davvero il problema.
La grande domanda posta da Kant nella sua opera principale "The Critique of Pure Reason " riguarda la possibilità dell'esistenza di proposizioni matematiche sintetiche a priori . A quel tempo, era impossibile capire che queste proposizioni sono algoritmi nel senso moderno come definiti da Church e Turing, sono sintetici, cioè (nel termine di Kant) aumentano la conoscenza, nel termine calcolabilità generano informazioni. Sono però a priori, cioè anteriori all'esperienza (nel termine di Kant) e questo è fondamentale. Il risultato del calcolo di un algoritmo non può essere conosciuto prima dell'esperienza di esecuzione del calcolo, tuttavia, esiste prima dell'esperienza di questo calcolo. L'analisi matematica non è un trucco per evitare la necessità di calcolo ma per diminuire il numero di passaggi algoritmici necessari, applicabile solo ad algoritmi comprimibili come funzioni differenziabili; non si deve credere, come suggerisce l'origine storica del suo nome, che consenta di trasformare una proposizione analitica in una proposizione sintetica.
Kant era estremamente scosso dall'adeguatezza delle equazioni della fisica di Newton alla realtà fenomenologica; come possono una semplice legge di distanza inversa e la metrica della distanza euclidea generare ellissi? Come possono queste ellissi derivare dall'elaborazione matematica e corrispondere alla realtà delle orbite planetarie? Kant giunge alla conclusione che ciò è possibile solo dall'esistenza di concetti a priori come tempo e spazio e dall'esistenza di concetti puri di comprensione come il principio di permanenza della sostanza e di simultaneità, che consente il riconoscimento di oggetti distinti, così come il principio di causalità.
D'altra parte, essendo questi concetti per Kant a priori (prima di ogni esperienza e quindi innati), non può esserci una reale corrispondenza tra il noumeno (il mondo in sé) e il fenomeno (il mondo percepito). Pertanto, il tempo e lo spazio così come la causalità esistono solo per l'uomo e non sono realtà del mondo; la matematica, per Kant, è un puro prodotto umano e la corrispondenza con il mondo una formattazione umana. Questo disegno è stato in vigore fino agli inizi del XX ° secolo e ha lasciato la questione della straordinaria efficacia della matematica aprire a tutti coloro che dubitava l'irrealtà di tempo, spazio e causalità.
La teoria dell'evoluzione lamarckiana e poi darwiniana permette di evidenziare l'errore di Kant: a priori non è sinonimo di innato. In qualità di degno successore alla cattedra di Kant, Konrad Lorenz ha corretto la teoria della conoscenza di quest'ultimo. Secondo Lorenz, i concetti a priori della comprensione come rappresentazione centrale dello spazio e della causalità sono stati forgiati dal meccanismo della selezione naturale attraverso il confronto della realtà con il comportamento degli animali; la selezione naturale ha privilegiato gli organismi in grado di rappresentare al meglio lo spazio e gli altri concetti a priori. Le nozioni di innato e a priori non sono quindi più compatibili, essendo i concetti a priori il risultato del confronto, attraverso l'esperienza, degli animali con la realtà tangibile. Questa esperienza non è svolta dagli organismi durante la loro esistenza personale, ma dalla selezione naturale durante l'evoluzione degli esseri viventi.
Se Kant capì che il tempo, lo spazio, la possibilità di distinguere tra oggetti e causalità sono necessari per l'esistenza della matematica, il modo in cui questi si uniscono per consentire l'emergere della computabilità fu, d'altro canto, molto compreso. Più tardi con l'apparizione della teoria di automi .
La teoria degli automi ha permesso di chiarire le condizioni necessarie e sufficienti perché un sistema possegga la potenza della macchina di Turing , cioè i diversi attributi di un sistema deterministico.
Nel caso particolare di un automa, il determinismo deve essere limitato alla macchina e riproducibile , conditio sine qua non della scientificità secondo certe accettazioni epistemologiche, e risiede nella capacità di riavviare la macchina in qualsiasi momento per rigenerare la stessa sequenza. numeri. Noteremo che questa macchina può essere qualsiasi macchina che esegue un esperimento scientifico deterministico. Se è davvero impossibile creare una macchina di potenza superiore alla macchina di Turing , affermazione che rientra nella tesi di Church , cioè che può fornire una serie di numeri che nessun computer può fornire, diremo che l'universo è equivalente alle macchine di Turing.
Poiché l'universo è completo di Turing , obbedisce in qualche modo a questi principi, riflettendo la gerarchia di Chomsky .
Questo principio che esprime che lo stato del sistema è strettamente determinato dal suo stato precedente consente solo, di per sé, di generare un insieme di numeri così poveri da essere generalmente omesso (grammatica a scelta finita). Un automa che prende in considerazione solo questo principio è solo una catena di cambiamenti di stato. Nell'universo, è il tempo che consente una tale sequenza e, più fortemente, è esso stesso solo una catena di cambiamenti di stati.
Questo principio consente al sistema di "riconoscere" determinati elementi e di cambiare stato in base a questo riconoscimento. Affinché il principio sia applicabile, devono esistere almeno due tipi di elementi distinti e riconoscibili; questi sono generalmente simbolizzati dall'alfabeto binario {0,1}. Un sistema con questo principio aggiuntivo ha il potere delle macchine a stati . Tradizionalmente, è l'esistenza della forza che consente le interazioni che consentono all'universo di obbedire a questo principio.
Il sistema non dovrebbe solo essere in grado di riconoscere un elemento ma anche di generarlo (memorizzarlo) in un ordine fisso, o di posizionarlo in modo tale che siano enumerabili. Se il principio cognitivo è distruttivo e il fatto di "riconoscere" l'elemento lo distrugge, il sistema ha il potere degli automi push- down , nel caso opposto quello delle macchine di Turing finite. Nell'universo, è lo spazio che offre il supporto per la memorizzazione, consentendo di disporre la materia in modo che gli oggetti siano enumerabili. Tutte le interazioni tra gli oggetti nell'universo non sono distruttive; gli invarianti vengono mantenuti.
Se il sistema ha una memoria infinita e il tempo non è un vincolo, il sistema genera linguaggi enumerabili ricorsivamente .
L'imprevedibilità di certi sistemi fisici fu formalmente dimostrata nel 1936 da Alan Turing nell'articolo fondante dell'informatica; un particolare tipo di sistema fisico, il computer, è formalmente imprevedibile se ha una memoria infinita. Mostra che non può esserci alcun programma per un computer per determinare se un altro programma si interromperà o continuerà a funzionare per sempre ( problema di arresto ). Dimostra anche che il computer costituisce una base formale per la calcolabilità ( tesi di Church-Turing ) e quindi che nessuna teoria matematica un giorno sarà in grado di trovare una soluzione a questo problema formalmente insolubile. Storicamente, questa è una risposta al terzo problema di Hilbert, l' entscheidungsproblem .
Nel caso di computer con memoria di dimensioni finite , sarebbe sufficiente attendere che il programma esegua operazioni di scrittura in memoria per determinare che non si fermerà mai. D'altra parte, se il programma si ferma, si fermerà prima che qualsiasi programma cerchi di determinare se si ferma o meno; la prevedibilità non richiede solo la capacità di calcolare il risultato, ma anche di farlo prima che si verifichi.
L'incompletezza di qualsiasi sistema formale fu dimostrata da Kurt Gödel nel 1931, se l'universo è equivalente alle macchine di Turing anche questo è incompleto.
L'incompletezza è difficile da immaginare per una sequenza finita di numeri, infatti è sempre possibile creare un algoritmo che generi questa sequenza finita. D'altra parte, progettare un algoritmo più piccolo (codificato con meno bit) della sequenza stessa è possibile solo per un insieme molto ristretto di sequenze di numeri. La complessità di Kolmogorov (dal nome del matematico Andrey Kolmogorov) è una misura della compressibilità delle informazioni.
Il successo della fisica è dovuto alla sua capacità di semplificare fenomeni complessi fino a farli rientrare in una piccola equazione. Ad esempio, è possibile modellare l'attrazione gravitazionale tra due corpi combinando le singole attrazioni di ciascuno degli atomi che costituiscono i corpi e considerando solo il centro di massa risultante. Sfortunatamente, questo principio di compressione delle informazioni non si applica a tutti i fenomeni, alcuni algoritmi sono incomprimibili.
Il principio cognitivo consente di definire l'informazione come ciò che consente il cambiamento di stato di un automa o, in modo equivalente, l'esistenza di un fenomeno deterministico. Il principio di memorizzazione come qualsiasi disposizione di elementi nello spazio (forma) come, ad esempio, qualsiasi sequenza di simboli prodotta da un automa o, in modo equivalente, il prodotto di un fenomeno deterministico.
Questa duplice visione dell'informazione riflette la duplice visione dell'automa che è sia accettore del linguaggio che generatore di linguaggio. La nozione di ordine può essere definita come la complessità algoritmica necessaria per generare una sequenza di simboli, il disordine ottimale come sequenza incomprimibile o, in modo equivalente, come risultato di un fenomeno non deterministico.