Bialgebra

In matematica , una Bialgebra o bialgebra è un insieme che ha sia una struttura di algebra che una struttura di coalgebra , e poiché queste due strutture sono compatibili. Le algebre di Hopf sono particolarmente bialgebre.

Definizione

Se è un campo, una bialgebra è uno spazio vettoriale con quattro mappe lineari: K{\ displaystyle k}K{\ displaystyle k}B{\ displaystyle B}

• un prodotto ,μ:B⊗B⟶B{\ displaystyle \ mu: B \ otimes B \ longrightarrow B}
• un'unità ,η:K⟶B{\ displaystyle \ eta: k \ longrightarrow B}
• un co-prodotto ,Δ:B⟶B⊗B{\ displaystyle \ Delta: B \ longrightarrow B \ otimes B}
• un consiglio .ϵ:B⟶K{\ displaystyle \ epsilon: B \ longrightarrow k}

tale che sia un'algebra e una coalgebra , e che soddisfi una delle seguenti proprietà equivalenti: (B,μ,η){\ displaystyle (B, \ mu, \ eta)}(B,Δ,ϵ){\ displaystyle (B, \ Delta, \ epsilon)}

1. Δ{\ displaystyle \ Delta}e sono morfismi di algebre.ϵ{\ displaystyle \ epsilon}
2. μ{\ displaystyle \ mu}e sono morfismi di coalgebre.η{\ displaystyle \ eta}

Motivazioni

La nozione di bialgebra interviene principalmente nello studio delle algebre di Hopf che sono particolari bialgebre.

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