Un primo grado equazione è un'equazione in cui le potenze della sconosciuta o incognite sono di grado 1 e 0 solo come semplici proporzionalità problemi . Nei casi più complessi può essere qualsiasi equazione riconducibile ad essa mediante manipolazioni algebriche.
Per esempio :
La risoluzione dei problemi di primo grado iniziò con algoritmi babilonesi ed egizi , proseguì con i metodi della falsa posizione nel Medioevo o della risoluzione diretta da parte degli arabi, poi con metodi moderni usando il simbolismo.
Il principio si applica quando c'è proporzionalità nel fenomeno. Consiste nel fare un tentativo (una falsa posizione) e nel dedurne la soluzione.
Studieremo questo metodo nel caso del seguente problema babilonese:
“Ho una pietra ma non l'ho pesata. Dopo aver tolto un settimo del suo peso, ho pesato tutto e ho trovato: 1 ma-na (unità di massa). Qual era il peso originale della pietra? "
Possiamo dare un valore arbitrario (falsa posizione) al peso della pietra, ad esempio 7. Questo valore non è dato completamente al caso, è dato dal calcolo sottostante che coinvolge in modo semplice 6, numero semplice da gestire Numero sessagesimale babilonese (base 60).
Se la pietra pesa 7 ma-na, il settimo di 7 è 1, la pietra leggera pesa 6 ma-na, che è 6 volte maggiore del valore cercato (1 ma-na).
Per la pietra più leggero pesa un ma-na, dobbiamo prendere una pietra da 6 volte più leggero quindi la soluzione è di sette sesti: .
Attenzione, questo metodo funziona solo in alcuni casi, ad esempio se le incognite sono da un lato dell'uguaglianza e i numeri noti dall'altro. Tra le equazioni proposte in premessa, solo la prima è risolvibile in questo modo.
L'equazione di questo problema, se denotiamo p il peso della pietra .
Il principio della doppia falsa posizione si applica quando non c'è proporzionalità nel fenomeno. Consiste nel fare due tentativi (trovare due false posizioni) e dedurre la soluzione (o la posizione esatta). È preferibile (come nell'artiglieria) fare una proposta debole e una proposta forte.
Esempio: in questa mandria di mucche, se scambiamo un terzo di questi animali con queste 17 bellissime mucche, il numero di mucche aumenta a 41.
Il numero esatto di vacche è quindi una media dei due tentativi ponderata in base agli errori commessi. In breve, il numero di mucche è
Spiegazione matematicaEcco un tentativo di spiegazione senza coinvolgere un calcolo algebrico.
In questo problema stiamo lavorando su un fenomeno affine: non c'è proporzionalità tra il numero di vacche alla partenza e il numero di vacche all'arrivo ma c'è sempre proporzionalità tra il numero di vacche sommate alla partenza e il numero di vacche vacche oltre all'arrivo:
Possiamo quindi costruire una tabella di proporzionalità contando il numero di vacche oltre al caso della prima falsa posizione, nel caso della posizione esatta e della seconda falsa posizione.
Posizione | Partenza | Arrivo |
esatto | ? | 8 |
secondo falso | 45 - 24 | 14 |
La regola del quarto proporzionale prevede che il numero di vacche venga sommato a 24:
cioè un numero totale di vacche di
.Possiamo ammirare il merito degli indiani e dei cinesi , capaci di concepire e applicare questo metodo senza l'ausilio dell'algebra . Possiamo anche ammirare l'efficienza della scrittura algebrica che renderà questo problema estremamente facile da risolvere:
Si tratta di risolvere l'equazione x - x / 3 + 17 = 41. Questa equazione è successivamente equivalente a abbiamo rimosso 17 da entrambi i lati dell'equazione abbiamo moltiplicato i due membri per 3/2 Il numero iniziale di vacche è quindi 36.Le equazioni di primo grado possono essere ridotte a un'equazione del tipo
.
Ci sono quindi 3 scenari:
rem: Queste tre distinzioni sono valide quando cerchiamo di risolvere l'equazione nell'insieme di reali, razionali o complessi. Quando proviamo a risolvere l'equazione nell'insieme degli interi, è possibile che la soluzione proposta b / a non sia intera, allora diremo che l'insieme delle soluzioni è vuoto. Infine, se usciamo da questi insiemi, ci sono altre distinzioni ( anello non integrale ) che vanno oltre la struttura della matematica elementare.
A volte riduciamo le equazioni di primo grado alla seguente forma:
.In questo caso l'equazione ammette un'unica soluzione uguale a se e solo se .
1) I biglietti per questo spettacolo costano 12 euro, il gruppo deve pagare 156 euro. Quante persone ci sono nel gruppo?
Si tratta di risolvere in N l'equazione 12x = 156 dove x rappresenta il numero di persone nel gruppo. Soluzione x = 156/12 = 13. Ci sono quindi 13 persone nel gruppo.2) I biglietti per questo spettacolo costano 12 euro, il gruppo deve pagare 206 euro. Quante persone ci sono nel gruppo?
Si tratta di risolvere in N l'equazione 12x = 206 dove x rappresenta il numero di persone nel gruppo. Soluzione x = 206/12 = 17.166 .... Non è un numero intero, il problema non ha soluzione, il cassiere deve aver sbagliato.3) Proviamo a risolvere in R l'equazione 2x - 2 = 5x - (5 + x).
Le regole di somma e differenza ci permettono di dire che questa equazione è successivamente equivalente alle seguenti equazioni: 2x - 2 = 4x - 5 2x + 3 = 4x abbiamo aggiunto 5 a entrambi i lati dell'equazione 3 = 2x abbiamo sottratto 2x da entrambi i lati dell'equazione 2x = 3 l' uguaglianza può essere letta in entrambe le direzioni x = 3/2 è il famoso b / a della regola generale La soluzione dell'equazione è quindi 3/2.4) Proviamo a risolvere in R l'equazione 2x - 2 = 3x - (5 + x).
Le regole di somma e differenza consentono di affermare che questa equazione è successivamente equivalente alle seguenti equazioni: 2x - 2 = 2x - 5 –2 = –5 abbiamo sottratto 2x da entrambi i lati dell'equazione Non è possibile che –2 sia uguale a –5 quindi l'equazione non ammette alcuna soluzione.5) Proviamo a risolvere in R l'equazione 2x - 5 = 3x - (5 + x).
Una semplificazione del lato destro porta a: 2x - 5 = 2x - 5. Questa uguaglianza è sempre vera e non dipende dal valore di x. L'insieme soluzione è l'insieme R . Caso di proporzionalitàLe equazioni o sono casi di proporzionalità da conoscere.
La soluzione della prima equazione è per un diverso da zero.
La soluzione della seconda equazione è previsto che un e b sono non-zero.